Компактификация Стоуна — Чеха

Конструкция компактификации Стоуна — Чеха была впервые рассмотрена Тихоновым^[1] в 1930 году. Более явно она была описана в 1937 году Стоуном ^[2] и Эдуардом Чехом^[3].

${\displaystyle \beta X}$ — это компактное хаусдорфово пространство вместе с непрерывным отображением из ${\displaystyle X,}$ удовлетворяющее следующему универсальному свойству: любое непрерывное отображение ${\displaystyle f:X\to K}$ в компактное хаусдорфово пространство ${\displaystyle K}$ можно однозначно продолжить до непрерывного отображения ${\displaystyle \beta f:\beta X\to K,}$ такого что следующая диаграмма коммутативна:

В случае, если исходное пространство ${\displaystyle X}$ было вполне регулярным, отображение ${\displaystyle X\to \beta X}$ является гомеоморфизмом ${\displaystyle X}$ на образ этого отображения (то есть вложением).

• Несмотря на то, что универсальное свойство однозначно определяет компактификацию с точностью до изоморфизма, для доказательства существования компактификации нужно описать явную конструкцию.

Обозначим через ${\displaystyle A}$ множество всех непрерывных функций ${\displaystyle \alpha \colon X\to [0,1]}$. Можно проверить, что отображение ${\displaystyle F:X\to [0,1]^{A}}$ (тихоновский куб), определяемое равенством

${\displaystyle x\mapsto (\alpha (x))_{\alpha \in A}}$,

является гомеоморфизмом ${\displaystyle X}$ на свой образ ${\displaystyle F(X)\subset [0,1]^{A}}$. Замыкание ${\displaystyle F(X)}$ в ${\displaystyle [0,1]^{A}}$ и будет искомой компактификацией.

• Если ${\displaystyle X}$ является дискретным пространством, его компактификация — это множество ультрафильтров на решётке подмножеств ${\displaystyle X,}$ наделённое топологией Стоуна. В качестве базы открытых множеств топологии Стоуна на множестве ультрафильтров ${\displaystyle G}$ можно взять множества ${\displaystyle D_{a}=\{U\in G|a\in U\}}$ для всевозможных ${\displaystyle a\in P(X).}$