Однозначное выражение

Аналогия

1. Определение вида козы A формулируется так:

«Млекопитающее с рогами, обладающее свойством A».

Такой вид козы A не является однозначно определённым, поскольку существуют и другие млекопитающие с рогами, которые могут обладать свойством A.

Однако если доказать, что свойство A встречается исключительно у коз, то вид козы A будет однозначно определён, поскольку тогда существует ровно один вид млекопитающих, обладающих этим свойством, и определение становится единственным.

Математика

1. «Для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$ функция ${\displaystyle f_{1}(x)}$ ‘‘определена’’ как такое число ${\displaystyle y\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$, что ${\displaystyle y^{2}=x}$.»
2. «Для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ функция ${\displaystyle f_{2}(x)}$ ‘‘определена’’ как такое число ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$, что ${\displaystyle y^{2}=x}$.»
3. «Для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$ функция ${\displaystyle f_{3}(x)}$ ‘‘определена’’ как такое число ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$, что ${\displaystyle y^{2}=x}$.»

Рассматриваются ‘‘определения’’ функций ${\displaystyle f_{1}}$, ${\displaystyle f_{2}}$, ${\displaystyle f_{3}}$ с указанными областью определения и областью значений.

К 1:	Для каждого числа ${\displaystyle x}$ из области определения ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$ существует (левототальность) и только одно (правооднозначность) число ${\displaystyle y}$ из области значений ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$ с свойством ${\displaystyle y^{2}=x}$. (Квадратная функция из ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$ является биекцией.) Следовательно, функция ${\displaystyle f_{1}}$ однозначно определена. ${\displaystyle f_{1}}$ — это функция квадратного корня.
К 2:	Двоичное отношение ${\displaystyle f_{2}:=\{(x,y)\mid x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} ,y^{2}=x\}\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ не является левототальным. Например, ${\displaystyle x=-1}$ принадлежит ${\displaystyle \mathbb {R} }$, то есть области определения, но не существует ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$, такого что ${\displaystyle y^{2}=x=-1}$. Нарушено условие существования. Следовательно, ${\displaystyle f_{2}}$ (как функция) не однозначно определена и не является функцией.
К 3:	Двоичное отношение ${\displaystyle f_{3}:=\{(x,y)\mid x\in \mathbb {R} _{\geq 0},y\in \mathbb {R} ,y^{2}=x\}\subseteq \mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} }$ не является правооднозначным. Например, ${\displaystyle y_{1}^{\;\!2}=4=y_{2}^{\;\!2}}$ для двух различных элементов ${\displaystyle y_{1}:=2}$, ${\displaystyle y_{2}:=-2}$ из области значений ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Нарушено условие единственности. Следовательно, ${\displaystyle f_{3}}$ (как функция) не однозначно определена.

Кавычки в словах «определена» и «определение» можно избежать, если не определять сразу функцию. Вместо этого на первом шаге определяют только двоичное отношение — что всегда возможно (как показано в замечаниях к простым примерам 2 и 3).

На втором шаге доказывают, что определённое таким образом двоичное отношение обладает свойствами левототальности и правооднозначности, то есть является функцией^[1]. Этот второй шаг и есть стандартная проверка однозначности определения.

Таким образом, те же математические объекты можно построить без использования термина «однозначно определённый», что делает его избыточным. Тем не менее, опережающее указание на свойство функции в «определении» является распространённой практикой, прежде всего потому, что объект сразу объявляется функцией. А поскольку цель «определения» не в его неудаче, в математических текстах не встречается не-однозначно определённых объектов.

В литературе часто встречается определение однозначности как независимости от выбора представителя^[2][3].

Типично вопрос об однозначности функции возникает тогда, когда определяющее функцию равенство ссылается не только на сами аргументы, но и на элементы, их представляющие. Это иногда неизбежно, если аргументами являются классы эквивалентности. Элемент класса эквивалентности называется представителем, и именно к нему обращаются.

Рассмотрим пример. Каждое рациональное число можно записать в виде дроби из двух целых чисел — числителя и знаменателя. «Определим» ${\displaystyle f\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \colon a/b\mapsto a}$ как «функцию», сопоставляющую каждому рациональному числу его числитель.

Поскольку ${\displaystyle 1/2=2/4}$, должно быть ${\displaystyle 1=f(1/2)=f(2/4)=2}$, что противоречиво. Следовательно, «определение» ${\displaystyle f}$ некорректно. ${\displaystyle f}$ не однозначно определена. Рассмотрим определение ${\displaystyle f}$ подробнее: дробь ${\displaystyle a/b}$ представляет класс эквивалентности ${\displaystyle [(a,b)]}$ всех пар ${\displaystyle (x,y)}$, для которых ${\displaystyle ay=xb}$. Определение ${\displaystyle f}$ должно быть: для всех рациональных ${\displaystyle q}$ значение ${\displaystyle f(q)}$ ‘‘определено’’ как такое ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} }$, для которого существует ${\displaystyle y\in \mathbb {N} }$ с ${\displaystyle [(x,y)]=q}$. Класс эквивалентности ${\displaystyle q}$ — аргумент функции ${\displaystyle f}$; обращение идёт к представителю ${\displaystyle (x,y)\in q}$. Но таких ${\displaystyle (x,y)}$ несколько — для ${\displaystyle q=[(1,2)]}$ это, например, ${\displaystyle x=1,y=2}$ или ${\displaystyle x=2,y=4}$. ${\displaystyle f}$ не однозначно определена, и «определение» не является определением функции.

Если элемент ${\displaystyle a\in A}$ имеет несколько представлений (например, ${\displaystyle 1/2}$, ${\displaystyle 2/4}$, ${\displaystyle 3/6}$ и т. д.), то функция ${\displaystyle f\colon A\to B}$ должна сопоставлять этому элементу значение ${\displaystyle f(a)}$, не зависящее от представления ${\displaystyle a}$. Например, «определение» ${\displaystyle f\colon \mathbb {Q} \setminus \{0\}\to \mathbb {Q} \setminus \{0\},a/b\mapsto b/a}$ этому условию удовлетворяет.

Пусть даны два множества ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle A_{2}}$, а также отношения эквивалентности ${\displaystyle \sim _{1}}$ на ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle \sim _{2}}$ на ${\displaystyle A_{2}}$. Обозначим через ${\displaystyle [a_{1}]_{1}}$ класс эквивалентности ${\displaystyle \{a\mid a\sim _{1}a_{1}\}}$ элемента ${\displaystyle a_{1}\in A_{1}}$ относительно ${\displaystyle \sim _{1}}$, и аналогично ${\displaystyle [a_{2}]_{2}}$ — класс эквивалентности элемента ${\displaystyle a_{2}\in A_{2}}$ относительно ${\displaystyle \sim _{2}}$. Множество классов эквивалентности ${\displaystyle {A_{1}}_{/\sim _{1}}:=\{[a_{1}]_{1}\mid a_{1}\in A_{1}\}}$ называется фактор-множеством ${\displaystyle A_{1}}$ (по отношению эквивалентности ${\displaystyle \sim _{1}}$).

Пусть задана функция (или отображение) ${\displaystyle f\colon A_{1}\to A_{2}}$. Тогда можно определить (дву-) отношение ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ на паре

	${\displaystyle {\color {OliveGreen}{A_{1}}_{/\sim _{1}}}}$	${\displaystyle \times }$	${\displaystyle {\color {red}{A_{2}}_{/\sim _{2}}}}$
фактор-множеств по правилу
${\displaystyle {\tilde {f}}:=\{\;(}$	${\displaystyle {\color {OliveGreen}[a_{1}]_{1}}}$	${\displaystyle ,}$	${\displaystyle {\color {red}[f(a_{1})]_{2}}}$	${\displaystyle )\,\mid \,a_{1}\in A_{1}\}}$

Это определение корректно как определение отношения. Однако его цель (обычно) — определить отображение. Поэтому ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ часто называют индуцированным отображением от ${\displaystyle f}$, хотя использование термина отображение здесь предваряет ещё не доказанную однозначность.

Пока ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ — лишь двуичное отношение ${\displaystyle \subseteq {A_{1}}_{/\sim _{1}}\times {A_{2}}_{/\sim _{2}}}$, которое будет (также двуичным отношением) функцией или отображением только тогда, когда для каждого аргумента ${\displaystyle [a_{1}]_{1}}$ существует единственное значение ${\displaystyle {\tilde {f}}([a_{1}]_{1})}$. Для этого необходимо:

${\displaystyle \forall x,y\in A_{1}\quad ([x]_{1}=[y]_{1}\Longrightarrow [f(x)]_{2}=[f(y)]_{2})}$.

Именно при выполнении этого (называемого независимостью от представителя) условия индуцированное «отображение» ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ называют однозначно определённым, и оно становится не просто отношением, а действительно отображением.

• Пусть ${\displaystyle A_{1}=\mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle A_{2}=\{0,1\}}$. В качестве отношения эквивалентности ${\displaystyle \sim _{1}}$ выберем «эквивалентность по модулю 3», то есть

${\displaystyle x\sim _{1}y,\quad {\text{если}}\quad {\frac {x-y}{3}}\in \mathbb {Z} \ .}$

Отношение эквивалентности ${\displaystyle \sim _{2}}$ — обычное равенство, то есть ${\displaystyle x\sim _{2}y}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x=y}$. (Класс эквивалентности состоит из одного элемента.)

В качестве функции возьмём

${\displaystyle f\colon \mathbb {Z} \to \{0,1\},\ x\mapsto {\begin{cases}0,&{\text{если }}x{\text{ чётное,}}\\1,&{\text{если }}x{\text{ нечётное.}}\end{cases}}}$

Индуцированное «отображение» тогда

${\displaystyle {\tilde {f}}\colon \mathbb {Z} _{/\sim _{1}}\to \{0,1\}_{/\sim _{2}},\ [x]_{1}\mapsto [f(x)]_{2}={\begin{cases}[0]_{2},&{\text{если }}x{\text{ чётное,}}\\{[}1{]}_{2},&{\text{если }}x{\text{ нечётное.}}\end{cases}}}$

Теперь ${\displaystyle {\tilde {f}}([5]_{1})=[1]_{2}=\{1\}\neq \{0\}=[0]_{2}={\tilde {f}}([8]_{1})}$, хотя ${\displaystyle [5]_{1}=[8]_{1}}$. В этом случае «индуцированное отображение» ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ не однозначно определено и не является отображением.

• Пусть ${\displaystyle A_{1}=A_{2}=\mathbb {R} }$. Отношение эквивалентности ${\displaystyle \sim _{1}}$ определяется как

${\displaystyle x\sim _{1}y,\quad {\text{если}}\quad {\frac {x-y}{2\pi }}\in \mathbb {Z} \ ,}$

а ${\displaystyle \sim _{2}}$ — обычное равенство. Вещественный косинус индуцирует отображение

${\displaystyle {\tilde {f}}\colon \mathbb {R} _{/\sim _{1}}\to \mathbb {R} _{/\sim _{2}},[x]_{1}\mapsto [\cos(x)]_{2}}$.

Это отображение однозначно определено, что можно показать так: пусть ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle [x]_{1}=[y]_{1}}$. По определению ${\displaystyle \sim _{1}}$ существует ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ такое, что ${\displaystyle x=y+k\cdot 2\pi }$, и тогда ${\displaystyle {\tilde {f}}([x]_{1})=[\cos(x)]_{2}=[\cos(y+k\cdot 2\pi )]_{2}=[\cos(y)]_{2}={\tilde {f}}([y]_{1})}$, поскольку косинус имеет период ${\displaystyle 2\pi }$.

Пусть ${\displaystyle A}$ — непустое множество с отношением эквивалентности ${\displaystyle \sim }$ и внутренней операцией ${\displaystyle *\colon A\times A\to A}$. С помощью ${\displaystyle *}$ на соответствующей фактор-структуре можно определить трёхместное отношение

${\displaystyle {\begin{array}{rcccccl}&A_{/\sim }&\times &A_{/\sim }&\times &A_{/\sim }\\{\tilde {*}}:=\{(&[a]&,&[b]&,&[a*b]&)\mid a,b\in A\}\end{array}}}$

В предвосхищение ещё не доказанной однозначности ${\displaystyle {\tilde {*}}}$ называют индуцированной операцией, определённой с помощью ${\displaystyle *}$ на фактор-структуре.

Чтобы это отношение действительно было операцией, результат не должен зависеть от выбора представителя в классе. То есть для всех ${\displaystyle a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}\in A}$ с ${\displaystyle a_{1}\sim a_{2},\;b_{1}\sim b_{2}}$ должно выполняться:

${\displaystyle a_{1}*b_{1}\sim a_{2}*b_{2}\ .}$

Если это так, индуцированная операция ${\displaystyle {\tilde {*}}}$ действительно является операцией (и обладает свойством однозначности).

• Операция ${\displaystyle p\colon \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} }$, заданная как ${\displaystyle p([a],[b]):=[{|a|}^{|b|}]}$, не однозначно определена: ${\displaystyle [5]=[2]}$ и ${\displaystyle [3]=[6]}$, но

${\displaystyle p([5],[3])=[5^{3}]=[125]=[3\cdot 41+2]=[2]\neq [1]=[3\cdot 21+1]=[64]=[2^{6}]=p([2],[6])\ }$.

• Рассмотрим симметрическую группу ${\displaystyle S_{3}=\{id,(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3),(1,3,2)\}}$ и её подгруппу ${\displaystyle U:=\{id,(1,2)\}}$. Индуцированная на фактор-множестве ${\displaystyle S_{3}/U}$ операция не однозначно определена. ${\displaystyle [id]=[(1,2)]}$ и, конечно, ${\displaystyle [(1,3,2)]=[(1,3,2)]}$, но

${\displaystyle [(1,2)*(1,3,2)]=[(1,3)]\neq [(1,3,2)]=[id*(1,3,2)].}$

• Сложение и умножение в кольце вычетов ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$) однозначно определены. Сложение вычетов — это индуцированная из сложения в ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ и нормального делителя ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ операция.
• Если ${\displaystyle N}$ — Нормальный делитель группы ${\displaystyle G}$, то индуцированная на ${\displaystyle G/N}$ операция однозначно определена, и ${\displaystyle G/N}$ называется факторгруппой группы ${\displaystyle G}$ по ${\displaystyle N}$. Свойство быть нормальным делителем эквивалентно тому, что индуцированная операция на фактор-множестве ${\displaystyle G/N}$ однозначно определена. Пусть ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}$ и ${\displaystyle n_{1},n_{2}\in N}$ произвольны. Для однозначности индуцированной групповой операции на левых смежных классах должно выполняться:

${\displaystyle [g_{1}*n_{1}]\;{\tilde {*}}\;[g_{2}*n_{2}]=[g_{1}*g_{2}]\ ,}$

то есть ${\displaystyle g_{2}*n_{2}*g_{2}^{-1}\in N}$. Это соответствует определению 2 нормального делителя. Аналогично для правых смежных классов.

Для вещественных чисел запись ${\displaystyle abc}$ для произведения ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$ считается однозначной, поскольку умножение удовлетворяет ассоциативному закону. В соответствии с остальной математической нотацией она единственна, так как произведение ${\displaystyle abc}$ для трёх вещественных чисел ${\displaystyle a,b,c}$ всегда даёт единственное значение.

Это справедливо и для кватернионов, где умножение некоммутативно.

Вычитание не ассоциативно. Тем не менее, запись ${\displaystyle a-b-c}$ с определением ${\displaystyle -b:=+(-b)}$ считается однозначной.

Для вещественных чисел ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y\neq 0}$ запись ${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$ для частного ${\displaystyle xy^{-1}=y^{-1}x}$ однозначна. Для некоммутативных кватернионов эта запись не однозначна.

В математике и информатике при использовании операторной записи однозначность обычно достигается с помощью дополнительных правил приоритета операторов и ассоциативности, даже без скобок.

В языке программирования C оператор вычитания - является левоассоциативным, то есть вычисляется слева направо: a-b-c = (a-b)-c. Оператор присваивания = — правоассоциативный, то есть a=b=c = a=(b=c).

В языке APL есть только одно правило приоритета: сначала вычисляются скобки, затем всё остальное справа налево.

В более широком смысле однозначность распространяется и на другие области. В этом случае она означает осмысленное и непротиворечивое определение. В качестве синонимов «неоднозначно определённый» в этом смысле также используются выражения «не определён» или «не полностью определён».

В области определения ${\displaystyle D}$ отображения ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} ,x\mapsto {\tfrac {1}{x}}}$ не должно быть нуля, так как ${\displaystyle f}$ при ${\displaystyle x=0}$ даёт «значение» ${\displaystyle f(0)={\tfrac {1}{0}}}$, которое не является вещественным числом. Деление на ноль в вещественных числах не определено, то есть не существует вещественного числа, которое при умножении на ноль даёт единицу^[4]. Если положить ${\displaystyle D:=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$, то ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} ,x\mapsto {\tfrac {1}{x}}}$ будет однозначно определённой.

Аналогично, в вещественных числах не определено извлечение квадратного корня из отрицательных чисел. Иными словами, «функция» ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto {\sqrt {x}}}$ не однозначно определена, а функция ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\to \mathbb {R} ,x\mapsto {\sqrt {x}}}$ — однозначно определена.

Если записать формулу ${\displaystyle f(x)=x}$ как «функцию» ${\displaystyle f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} ,x\mapsto x,}$ то значению ${\displaystyle x=-2}$ будет сопоставлено ${\displaystyle f(-2)=-2}$. Однако это недопустимо, так как ${\displaystyle -2\not \in \mathbb {N} }$ и не принадлежит области значений.

С другой стороны, сужение области значений может сделать неявно заданную функцию однозначной. Например, рассмотрим двоичное отношение

${\displaystyle f:={\Bigl \{}(x,y)\in {\bigl (}\mathbb {R} \times \mathbb {R} )\;{\Big |}\operatorname {tg} y=x{\Bigr \}}}$

Из-за периодичности тангенса ${\displaystyle \operatorname {tg} (y+n\pi )=\operatorname {tg} y}$ для одного ${\displaystyle x}$ существует бесконечно много ${\displaystyle y}$-значений. ${\displaystyle f}$ становится правооднозначным, если область значений ограничить, например,

${\displaystyle f:={\Bigl \{}(x,y)\in {\bigl (}\mathbb {R} \times (\!-\pi /2,\pi /2){\bigr )}\;{\Big |}\operatorname {tg} y=x{\Bigr \}},}$

тогда ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto \operatorname {arctg} x}$ — это главная ветвь функции арктангенса.

Внутренние операции алгебраической структуры ${\displaystyle G}$ (например, группы) также являются функциями (обычно двух аргументов). Для них действуют те же условия: операция над элементами структуры ${\displaystyle G}$ должна давать однозначно определённый элемент ${\displaystyle G}$. Здесь часто ошибочно употребляют термин замкнутость, который на самом деле относится к определению подструктур.

Множество считается однозначно определённым, если определяющее выражение для любого объекта однозначно устанавливает, принадлежит ли он этому множеству или нет. В частности, это исключает некоторые формы импредикативных определений.