Теорема Абеля — Таубера

Теорема Абеля — Таубера — теорема, обратная теореме Абеля о степенных рядах. Первая теорема типа тауберовых теорем. Была доказана A. Таубером в 1897 г. (теорема Таубера)^[1] Формулировку и доказательство при более общих условиях затем дал Дж. Литтльвуд в 1910 г.^[2] Затем была доказана Р. Шмидтом^[3], Н. Винером^[4]. Наиболее простое доказательство дал Дж. Карамата^[5]. Формулировку и доказательство при более слабом условии $n|a_{n}|<K$ дал Э. Ландау^[6].

Пусть $\sum _{0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ сходится к $f(x)$ при $|x|<1$ . Пусть $\lim _{x\rightarrow {1-0}}f(x)=s$ , когда $x$ стремится слева к $1$ . Пусть $n|a_{n}|<K<\infty$ . Тогда $\sum _{0}^{\infty }a_{n}=s$ .