Обратная матрица Дразина

Пусть ${\displaystyle A\in \mathbf {M} _{n}(K)}$ — квадратная матрица. Под индексом ${\displaystyle \operatorname {ind} A}$ (более точно, индексом в смысле Дразина) матрицы ${\displaystyle A}$ понимают наименьшее неотрицательное целое ${\displaystyle k}$, такое, что ${\displaystyle \operatorname {rank} (A^{k+1})=\operatorname {rank} (A^{k})}$, где ${\displaystyle \operatorname {rank} }$ обозначает ранг матрицы^[a].

Обратная матрица Дразина (другие употребительные названия: матрица, обратная по Дразину, или матрица, обратная в смысле Дразина; кроме того, здесь часто вместо термина обратная применяют термин псевдообратная, а также используют транскрипцию Дрейзина вместо Дразина^[5]) для матрицы (к матрице) ${\displaystyle A}$ — это матрица ${\displaystyle A^{\mathrm {D} }\in \mathbf {M} _{n}(K)}$, удовлетворяющая условиям

(i) ${\displaystyle A^{k+1}A^{\mathrm {D} }=A^{k}}$, где ${\displaystyle k=\operatorname {ind} A}$,

(ii) ${\displaystyle A^{\mathrm {D} }AA^{\mathrm {D} }=A^{\mathrm {D} }}$,

(iii) ${\displaystyle AA^{\mathrm {D} }=A^{\mathrm {D} }A}$.

В силу (iii), условие (i) в данном определении может быть заменено на условие ${\displaystyle A^{\mathrm {D} }A^{k+1}=A^{k}}$, а условие (ii) — на условие ${\displaystyle {\left(A^{\mathrm {D} }\right)}^{2}A=A^{\mathrm {D} }}$.

Для любой матрицы ${\displaystyle A\in \mathbf {M} _{n}(K)}$ её обратная матрица Дразина существует и единственна.

Если ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, то, вообще говоря, матрица ${\displaystyle A^{\mathrm {D} }}$ не является псевдообратной к матрице ${\displaystyle A}$ в классическом смысле (Мура — Пенроуза), поскольку может случиться так, что ${\displaystyle AA^{\mathrm {D} }A\neq A}$ (см. свойство 6 ниже).

1. Если матрица ${\displaystyle A}$ невырождена, то матрица, обратная к ней по Дразину, совпадает с её обратной матрицей: ${\displaystyle A^{\text{D}}=A^{-1}}$.
2. Если ${\displaystyle A}$ — нильпотентная матрица (например, матрица сдвига), то ${\displaystyle A^{\text{D}}=0.}$
3. Из двух предыдущих свойств легко следует, что для блочно-диагональной матрицы

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}B&0\\0&N\end{bmatrix}}}$,

где ${\displaystyle B}$ невырождена, а ${\displaystyle N}$ нильпотентна, обратная матрица Дразина имеет вид

${\displaystyle A^{D}={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}}$.

4. Матрица, обратная по Дразину, инвариантна по отношению к матричному сопряжению: если ${\displaystyle A^{\text{D}}}$ — матрица, обратная по Дразину к матрице ${\displaystyle A}$, то матрица ${\displaystyle PA^{\text{D}}P^{-1}}$ — обратная по Дразину к матрице ${\displaystyle PAP^{-1}}$.
5. Матрица проектора, то есть такая матрица ${\displaystyle P}$, что ${\displaystyle P^{2}=P}$, совпадает со своей обратной по Дразину матрицей: ${\displaystyle P^{\mathrm {D} }=P}$.
6. Равенство ${\displaystyle AA^{\mathrm {D} }A=A}$ имеет место в том и только в том случае, если ${\displaystyle \operatorname {ind} A\leqslant 1}$^[6].
7. Индекс обратной матрицы Дразина не превосходит единицы, то есть ${\displaystyle \operatorname {ind} (A^{\mathrm {D} })\leqslant 1}$.
8. Обратная матрица Дразина также обладает свойствами, общими для псевдообратных элементов Дразина в ассоциативных кольцах:
   • если матрица ${\displaystyle B}$ коммутирует с матрицей ${\displaystyle A}$ (то есть ${\displaystyle AB=BA}$), то она коммутирует и с матрицей ${\displaystyle A^{\mathrm {D} }}$: ${\displaystyle A^{\mathrm {D} }B=BA^{\mathrm {D} }}$^[7];
   • ${\displaystyle {\left(A^{\mathrm {D} }\right)}^{\mathrm {D} }=AA^{\mathrm {D} }A}$ (связь «дважды обратной» и обратной матриц Дразина; ср. свойство 6)^[8].

Существование и единственность обратной матрицы Дразина легко следует из общих результатов самого Дразина: для каждого элемента ассоциативного кольца существует не более одного псевдообратного элемента^[7]; а в конечномерной алгебре (каковой является алгебра квадратных матриц) любой элемент обладает псевдообратным^[9]. Вместе с тем может быть дано следующее более прямое доказательство.

Каждая матрица ${\displaystyle A\in \mathbf {M} _{n}(K)}$ подобна блочно-диагональной матрице, состоящей из невырожденного и нильпотентного блоков, то есть найдётся невырожденная матрица ${\displaystyle P\in \mathbf {M} _{n}(K)}$, такая, что

${\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}B&0\\0&N\end{bmatrix}}P^{-1},\quad \quad \quad (*)}$

где ${\displaystyle B}$ невырождена, а ${\displaystyle N}$ нильпотентна^[b]. Если ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ (или, более общо, поле ${\displaystyle K}$ алгебраически замкнуто), это легко следует из приведения матрицы к жордановой нормальной форме^[10]: матрица ${\displaystyle B}$ представляет собой объединение обратимых жордановых клеток (с ненулевыми собственными значениями), а матрица ${\displaystyle N}$ — объединение нильпотентных жордановых клеток (с нулевыми собственными значениями). В случае произвольного поля ${\displaystyle K}$ представление (*) следует из того, что стандартное n-мерное координатное пространство ${\displaystyle K^{n}}$ (то есть векторное пространство векторов-столбцов длины n с координатами из поля ${\displaystyle K}$) может быть представлено в виде прямой суммы^[11][12]

${\displaystyle K^{n}=\operatorname {Im} ({\mathcal {A}}^{k})\oplus \operatorname {Ker} ({\mathcal {A}}^{k})}$,

где ${\displaystyle k=\operatorname {ind} A}$, а ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ — линейный оператор на пространстве ${\displaystyle K^{n}}$, которому соответствует матрица ${\displaystyle A}$ (в стандартных координатах). Каждое из слагаемых этой прямой суммы инвариантно относительно ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, отсюда легко вывести возможность представления (*): матрица ${\displaystyle B}$ соответствует ограничению оператора ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ на первое прямое слагаемое, а матрица ${\displaystyle N}$ — на второе.

Итак, пусть матрица ${\displaystyle A}$ представлена в виде (*). Тогда из свойств 3—4, приведённых выше, следует, что

${\displaystyle A^{\mathrm {D} }=P{\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}P^{-1}}$

(фактически приведённое доказательство содержит и доказательство единственности). Описанное представление обратной матрицы Дразина иногда называют каноническим^[13].