Нильпотентная матрица

Нильпотентная матрица — матрица, являющаяся нильпотентным элементом относительно умножения, то есть матрица ${\displaystyle P}$, для которой существует целое число ${\displaystyle n}$ такое, что выполняется условие ${\displaystyle P^{n}=O}$, где ${\displaystyle O}$ — нулевая матрица.

Если в поле комплексных чисел все собственные значения матрицы равны нулю, то матрица нильпотентна^[1]. Это определение является аналогом предыдущего^[2].

Примеры:

• матрица ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$ нильпотентна, так как ${\displaystyle N^{2}=O}$;
• матрица ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$ нильпотентна, так как ${\displaystyle N^{4}=O}$;
• матрица ${\displaystyle {\begin{pmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{pmatrix}}}$ нильпотентна, так как ${\displaystyle N^{2}=O}$.