Неравенство Абеля

Пусть заданы последовательность вещественных чисел ${\displaystyle \{a_{k}\}_{k=1}^{n}}$ и последовательность вещественных или комплексных чисел ${\displaystyle \{b_{k}\}_{k=1}^{n}}$, причём последовательность ${\displaystyle \{a_{k}\}_{k=1}^{n}}$ (нестрого) монотонна^[a]. Пусть также ${\displaystyle B_{m}}$ обозначает сумму первых ${\displaystyle m}$ членов последовательности ${\displaystyle \{b_{k}\}_{k=1}^{n}}$, то есть ${\displaystyle B_{m}=b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{m}}$, ${\displaystyle m=1,2,\ldots ,n}$.

Тогда имеет место оценка^[1][2]:

${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leqslant B(|a_{1}|+2|a_{n}|)}$, где ${\displaystyle B=\max _{1\leqslant m\leqslant n}|B_{m}|}$.

Примечательно, что при фиксированной последовательности ${\displaystyle \{b_{k}\}_{k=1}^{n}}$ указанная оценка зависит лишь от первого и последнего члена последовательности ${\displaystyle \{a_{k}\}_{k=1}^{n}}$.

Если последовательность ${\displaystyle \{a_{k}\}_{k=1}^{n}}$ не возрастает и все ${\displaystyle a_{k}}$ неотрицательны (то есть ${\displaystyle a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant \ldots \geqslant a_{n}\geqslant 0}$), то оценка упрощается:

${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leqslant Ba_{1}}$^[4].

Пусть последовательность ${\displaystyle \{a_{k}\}_{k=1}^{n}}$ не возрастает. Применяя дискретное преобразование Абеля с учётом того, что ${\displaystyle a_{k+1}-a_{k}\leqslant 0}$, получим:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|&=\left|a_{n}B_{n}-\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k}\right|\leqslant \\&\leqslant |a_{n}|\cdot |B_{n}|+\sum _{k=1}^{n-1}|a_{k+1}-a_{k}|\cdot |B_{k}|\leqslant \\&\leqslant |a_{n}|B+\sum _{k=1}^{n-1}|a_{k+1}-a_{k}|B=\\&=|a_{n}|\cdot B+\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k}-a_{k+1})B=\\&=(|a_{n}|+a_{1}-a_{2}+a_{2}-a_{3}+\ldots +a_{n-1}-a_{n})B=\\&=(|a_{n}|-a_{n}+a_{1})B\leqslant \\&\leqslant B(|a_{1}|+2|a_{n}|).\end{aligned}}}$

Если все ${\displaystyle a_{k}}$ неотрицательны, то ${\displaystyle |a_{n}|=a_{n}}$ и предпоследнее выражение в приведённой выше цепочке равенств и неравенств будет равно ${\displaystyle Ba_{1}}$^[b]. Аналогичное рассуждение для неубывающей последовательности ${\displaystyle \{a_{k}\}_{k=1}^{n}}$ также приводит к требуемой оценке^[c]:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|&\leqslant (|a_{n}|+a_{n}-a_{1})B\leqslant \\&\leqslant B(|a_{1}|+2|a_{n}|).\end{aligned}}}$.

Неравенство Абеля остаётся верным в более общем случае, когда ${\displaystyle \{b_{k}\}_{k=1}^{n}}$ — последовательность векторов из некоторого нормированного пространства над полем вещественных чисел (выражения ${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|}$ и ${\displaystyle |B_{m}|}$ тогда следует понимать как нормы соответствующих векторов в этом пространстве). Приведённое выше доказательство дословно переносится на указанный случай.

Если все ${\displaystyle b_{k}}$ вещественны, а ${\displaystyle \{a_{k}\}_{k=1}^{n}}$ — невозрастающая последовательность неотрицательных чисел, то оценку суммы парных произведений ${\displaystyle a_{k}b_{k}}$ можно уточнить снизу (так же с помощью дискретного преобразования Абеля)^[5]:

${\displaystyle a_{1}\min _{1\leqslant m\leqslant n}B_{m}\leqslant \sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leqslant a_{1}\max _{1\leqslant m\leqslant n}B_{m}}$,

где, как и раньше, ${\displaystyle B_{m}=\sum _{k=1}^{m}b_{k}}$, ${\displaystyle m=1,2,\ldots ,n}$. Это двойное неравенство также называется неравенством Абеля (для числовых последовательностей) — именно оно, по сути, использовалось Абелем в его статье.

Т. Бромвичу (1908)^[5][6] принадлежит следующее обобщение предыдущей оценки (оно находит некоторые специальные приложения). Пусть:

${\displaystyle H_{1}=h_{1}=0;\quad H_{m}=\max(B_{1},B_{2},\ldots ,B_{m-1}),\quad h_{m}=\min(B_{1},B_{2},\ldots ,B_{m-1})}$ для ${\displaystyle 1<m\leqslant n}$;

${\displaystyle H'_{m}=\max(B_{m},\ldots ,B_{n}),\quad h'_{m}=\min(B_{m},\ldots ,B_{n})}$ для ${\displaystyle 1\leqslant m\leqslant n}$.

Тогда:

${\displaystyle h_{m}(a_{1}-a_{m})+h'_{m}a_{m}\leqslant \sum _{k=1}^{n}a_{i}b_{i}\leqslant H_{m}(a_{1}-a_{m})+H'_{m}a_{m},\quad 1\leqslant m\leqslant n.}$

В случае ${\displaystyle m=1}$ это двойное неравенство превращается в предыдущее.

Также существуют интегральные аналоги неравенства Абеля^[5].