Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке

• Область определения функции ${\displaystyle D(f)}$ — множество значений ${\displaystyle x}$, на котором функция задана или определена.
• Область значений функции ${\displaystyle E(f)}$— множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция на заданном промежутке.
• Точка максимума — внутренняя точка ${\displaystyle x_{\max }\in D(f)}$, для которой справедливо неравенство: ${\displaystyle f(x)\ <f(x_{\max })}$.
• Максимум функции — наибольшее значение функции на заданном промежутке: ${\displaystyle y_{\max }=f(x_{\max })}$.

• Точка минимума — внутренняя точка ${\displaystyle x_{\min }\in D(f)}$, для которой справедливо неравенство: ${\displaystyle f(x)\ >f(x_{\min })}$.
• Минимум функции — наименьшее значение функции на заданном промежутке: ${\displaystyle y_{\min }=f(x_{\min })}$.

• Критические точки — значения ${\displaystyle x}$, в которых производная функции равна нулю или не существует. В этих точках функция может достигать экстремумов.

• Экстремум функции — обобщённое название максимумов и минимумов функции^[1].

1. Определить область определения функции ${\displaystyle D(f)}$ и убедиться, что заданный промежуток входит в неё.

2. Вычислить производную функции ${\displaystyle f'(x)}$.

3. Найти критические точки, решив уравнение: ${\displaystyle f'(x)=0}$.

4. Отобрать критические точки на заданном отрезке.

5. Вычислить значения функции в отобранных критических точках и на концах отрезка.

6. Сравнить значения и выбрать из полученных результатов наибольшее или наименьшее значения функции^[2].

Найти наибольшее и наименьшее значения функции ${\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}+1}$ на отрезке ${\displaystyle [0;\;3]}$.

1. Найдём производную: ${\displaystyle f'(x)=3x^{2}-6x}$.

2. Приравняем производную к нулю: ${\displaystyle 3x^{2}-6x=0\implies x(x-2)=0}$.

3. Критические точки: ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle x=2}$ (обе принадлежат отрезку).

4. Вычислим значения функции:

  ${\displaystyle f(0)=0-0+1=1}$,
  ${\displaystyle f(2)=8-12+1=-3}$,
  ${\displaystyle f(3)=27-27+1=1}$.

5. Сравним значения: наибольшее значение — ${\displaystyle 1}$ при ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle x=3}$, наименьшее значение — ${\displaystyle -3}$ при ${\displaystyle x=2}$.

На графике функции максимумы и минимумы соответствуют вершинам кривой:

• Максимум выглядит как вершина горы — самая высокая точка на участке.
• Минимум напоминает долину или впадину — самая низкая точка на участке.

Для возрастающей функции на заданном отрезке:

• Наименьшее значение достигается при наименьшем значении аргумента.
• Наибольшее значение — при наибольшем значении аргумента.

Для убывающей функции — наоборот^[3].

• Критические точки: находят, решая уравнение ${\displaystyle f'(x)=0}$ или определяя точки разрыва производной.

• Вторая производная помогает уточнить характер экстремума:

 Если ${\displaystyle f''(x_{0})>0}$, в точке ${\displaystyle x_{0}}$ — минимум.
 Если ${\displaystyle f''(x_{0})<0}$, в точке ${\displaystyle x_{0}}$ — максимум.

Нахождение наибольших и наименьших значений функции на отрезке — ключевой инструмент в анализе функций. Этот процесс важен для решения задач оптимизации, экономических моделей и физических приложений, где требуется определить экстремальные значения величин.