Навигационная функция

Потенциальные функции предполагают, что рабочее пространство или среда известны. Препятствиям приписывается высокое значение потенциала, а целевой позиции — низкое. Для достижения цели роботу достаточно следовать по направлению к уменьшению значения градиента поверхности.

Однако классический метод искусственных потенциальных полей (Artificial Potential Fields, APF) имеет существенный недостаток — возможность попадания робота в локальные минимумы, где суммарная сила (градиент) равна нулю, но целевая точка ещё не достигнута^[2]. В таких «ловушках» робот может остановиться, не выполнив задачу^[3].

Для решения этой проблемы был разработан подход, использующий гармонические потенциальные поля (Harmonic Potential Fields, HPF). Гармонические функции являются решениями уравнения Лапласа (${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =0}$) и обладают ключевым свойством: у них отсутствуют локальные экстремумы (минимумы или максимумы) внутри области определения^[4]. Это гарантирует, что робот, следуя по градиенту такого поля, достигнет цели, которая является единственным глобальным минимумом, не застревая в пути^[5]. В качестве альтернативы также предлагаются субгармонические функции, которые тоже не имеют локальных минимумов, но позволяют строить более гладкие траектории по сравнению с традиционными APF^[2].

Формально эта идея выражается так: пусть ${\displaystyle X}$ — пространство всех возможных конфигураций робота, а ${\displaystyle X_{g}\subset X}$ — область цели.

Тогда потенциальная функция ${\displaystyle \phi (x)}$ называется (допустимой) навигационной функцией, если выполняются:

1. ${\displaystyle \phi (x)=0\ \forall x\in X_{g}}$
2. ${\displaystyle \phi (x)=\infty }$ тогда и только тогда, когда ни одна точка из ${\displaystyle X_{g}}$ недостижима из ${\displaystyle x}$.
3. Для каждого достижимого состояния ${\displaystyle x\in X\setminus {X_{g}}}$ локальный оператор выдаёт состояние ${\displaystyle x'}$, для которого ${\displaystyle \phi (x')<\phi (x)}$.

Вероятностная навигационная функция является расширением классической навигационной функции для статических стохастических сценариев. Эта функция определяется по допустимой вероятности столкновения, которая ограничивает риск при движении. Используемая в классическом определении сумма Минковского заменяется свёрткой геометрий и функций плотности вероятности положений. Обозначив целевую позицию как ${\displaystyle x_{d}}$, вероятностная навигационная функция определяется выражением^[6]:

${\displaystyle {\varphi }(x)={\frac {\gamma _{d}(x)}{{\left[{\gamma _{d}^{K}(x)+\beta \left(x\right)}\right]}^{\frac {1}{K}}}}}$

где ${\displaystyle K}$ — заданная константа, как и в классической навигационной функции, обеспечивающая морсов характер функции. ${\displaystyle \gamma _{d}(x)}$ — расстояние до целевой позиции ${\displaystyle {||x-{x_{d}}|{|^{2}}}}$, а ${\displaystyle \beta \left(x\right)}$ учитывает все препятствия и определяется как

${\displaystyle \beta \left(x\right)=\prod \limits _{i=0}^{N_{o}}{{\beta _{i}}\left(x\right)}}$

Здесь ${\displaystyle \beta _{i}(x)}$ основана на вероятности столкновения в точке ${\displaystyle x}$. Вероятность столкновения ограничивается заранее заданным значением ${\displaystyle \Delta }$, то есть

${\displaystyle \beta _{i}(x)=\Delta -p^{i}\left(x\right)}$

и

${\displaystyle \beta _{0}(x)=-\Delta +p^{0}\left(x\right)}$

где ${\displaystyle p^{i}(x)}$ — вероятность столкновения с ${\displaystyle i}$-м препятствием. Карта ${\displaystyle \varphi }$ считается вероятностной навигационной функцией, если выполняются условия:

1. Это навигационная функция.
2. Вероятность столкновения ограничена заранее заданной вероятностью ${\displaystyle \Delta }$.

Хотя во многих приложениях бывает достаточно построить допустимую навигационную функцию, часто требуется получить оптимальную навигационную функцию относительно заданного функционала стоимости ${\displaystyle J}$. Формулируя задачу как задачу оптимального управления, получаем:

${\displaystyle {\text{минимизировать }}J(x_{1:T},u_{1:T})=\int \limits _{T}L(x_{t},u_{t},t)dt}$

${\displaystyle {\text{при условиях }}{\dot {x_{t}}}=f(x_{t},u_{t})}$

Здесь ${\displaystyle x}$ — состояние, ${\displaystyle u}$ — применяемое управление, ${\displaystyle L}$ — стоимость в состояний ${\displaystyle x}$ при управляющем воздействии ${\displaystyle u}$, а ${\displaystyle f}$ — динамика перехода системы.

Воспользовавшись принципом Беллмана, оптимальная функция стоимости определяется как

${\displaystyle \displaystyle \phi (x_{t})=\min _{u_{t}\in U(x_{t})}{\Big \{}L(x_{t},u_{t})+\phi (f(x_{t},u_{t})){\Big \}}}$

С учётом приведённых выше аксиом, оптимальная навигационная функция определяется так:

1. ${\displaystyle \phi (x)=0\ \forall x\in X_{g}}$
2. ${\displaystyle \phi (x)=\infty }$ тогда и только тогда, когда ни одна точка из ${\displaystyle X_{G}}$ недостижима из ${\displaystyle x}$.
3. Для каждого достижимого состояния ${\displaystyle x\in X\setminus {X_{G}}}$ локальный оператор выдаёт состояние ${\displaystyle x'}$, для которого ${\displaystyle \phi (x')<\phi (x)}$.
4. ${\displaystyle \displaystyle \phi (x_{t})=\min _{u_{t}\in U(x_{t})}{\Big \{}L(x_{t},u_{t})+\phi (f(x_{t},u_{t})){\Big \}}}$

Хотя навигационная функция используется в реактивном управлении, она применима и к задачам оптимального управления, включая планирование траекторий^[7].

Если считать, что динамика системы или функция стоимости подвержены шуму, задача формулируется как задача стохастического оптимального управления с функционалом ${\displaystyle J(x_{t},u_{t})}$ и динамикой ${\displaystyle f}$. В области обучения с подкреплением функционал стоимости заменяется функцией вознаграждения ${\displaystyle R(x_{t},u_{t})}$, а динамика — вероятностями перехода ${\displaystyle P(x_{t+1}|x_{t},u_{t})}$.

Современное развитие вероятностных навигационных функций, особенно в период с 2020 по 2025 год, характеризуется глубокой интеграцией с методами машинного обучения и искусственного интеллекта, совершенствованием классических алгоритмов и повышением адаптивности роботов к сложным и динамичным средам.

В 2020 году исследования были сосредоточены на повышении надёжности и безопасности навигации в меняющихся условиях. Ключевыми направлениями стали^[8]:

• Динамический и семантический SLAM: Разрабатывались методы одновременной локализации и построения карты (SLAM), способные работать в средах с движущимися объектами. Семантический SLAM позволил роботам не просто строить геометрические карты, но и распознавать на них объекты (например, людей или мебель), чтобы игнорировать их при локализации или обрабатывать особым образом^[9][10].
• Оценка неопределённости: Появились подходы, позволяющие роботу разделять различные типы неопределённости — алеаторную (связанную со случайностью в среде) и эпистемическую (связанную с недостатком знаний у модели). Это дало возможность принимать более взвешенные и безопасные решения при навигации^[11].
• Интеграция с глубоким обучением: Продолжился тренд на слияние вероятностных методов с обучением с подкреплением (Deep Reinforcement Learning), что позволило обучать роботов навигации в сложных средах без заранее построенной карты^[10].

В 2021 году углубилась интеграция с машинным обучением для работы в сложных реальных условиях^[12]. Активно исследовалась концепция байесовского мета-обучения (Bayesian Meta-Learning), направленная на повышение адаптивности и способности мобильных роботов к обучению, что рассматривалось как потенциально революционный подход для автономной навигации^[13]. Также продолжалось совершенствование алгоритмов для навигации в динамических средах, например, с использованием гибридного реципрокного скоростного препятствия (Hybrid Reciprocal Velocity Obstacle, HRVO)^[14].

Тенденция к объединению вероятностных методов с глубоким обучением сохранилась. Байесовское мета-обучение продолжало рассматриваться как подход, потенциально превосходящий традиционные фильтры Калмана и частиц в задачах быстрой адаптации к новым средам^[13]. В то же время были предложены усовершенствованные алгоритмы вероятностных дорожных карт (Probabilistic Roadmap, PRM), направленные на решение проблемы навигации в сложных условиях с узкими проходами. Оптимизация достигалась за счёт улучшения плотности и распределения точек выборки, что сокращало время планирования и длину итогового пути^[15].

Этот год ознаменовался развитием гибридных систем и появлением направления дифференцируемой вероятностной робототехники (Differentiable Probabilistic Robotics), которое объединяет классический вероятностный вывод с обучаемыми компонентами нейронных сетей^[16]. Значительное внимание было уделено совершенствованию классических фильтров:

• Фильтры частиц: Были представлены алгоритмы, решающие проблему деградации и нехватки частиц. Один из подходов использовал разложение матрицы гомографии для уточнения распределения частиц в визуально-инерциальном SLAM^[17].
• Фильтры Калмана: Продолжилась работа над вариантами расширенного фильтра Калмана (EKF) для нелинейных систем, которыми являются большинство робототехнических задач, с целью повышения точности локализации^[18].

Кроме того, был предложен полностью байесовский подход к задаче сопоставления сканов (Bayesian-ICP), который формирует распределение вероятностей по возможным трансформациям вместо точечной оценки, что лучше учитывает неопределённость сенсорных данных.

В 2024 году были представлены значимые алгоритмические решения. Исследователи из MIT разработали алгоритм для навигации в средах с высокой степенью неопределённости, основанный на графовом представлении, известном как «Задача канадского путешественника» (Canadian Traveler’s Problem, CTP)^[19]. На международной конференции по робототехнике и автоматизации (ICRA) был проведён семинар «Robot Learning Going Probabilistic», посвящённый применению вероятностных представлений для создания надёжных обучаемых роботов^[20]. Также был предложен вероятностный фреймворк для объяснимой навигации (Explainable AI), позволяющий роботу моделировать предпочтения пользователя и адаптировать свои действия и комментарии для более эффективного взаимодействия с человеком^[21].

К 2025 году развитие было сосредоточено на глубокой интеграции с ИИ и усовершенствовании классических фильтров. Активно применяются байесовские нейронные сети (BNN), которые, в отличие от детерминированных моделей, могут оценивать неопределённость в своих прогнозах, что критически важно для безопасности в непредсказуемых условиях^[22]. Разрабатываются гибридные и адаптивные фильтры для повышения точности в сложных условиях:

• Гибридные фильтры: Предложен усовершенствованный фильтр частиц/Калмана (EPKF), где фильтр частиц используется для грубой оценки местоположения, а фильтр Калмана — для его последующего уточнения^[23].
• Адаптивные фильтры: Разработан метод на основе адаптивного фильтра частиц и итерационного фильтра Калмана (APF-IKF), предназначенный для повышения надёжности позиционирования недорогих навигационных систем, особенно при потере сигнала GPS и наличии негауссова шума^[24].

Развитие оптимальных навигационных функций с середины 2010-х годов характеризуется переходом от классических алгоритмов к интеллектуальным системам управления, способным самостоятельно принимать решения в сложных и динамичных средах. Ключевыми направлениями стали интеграция методов искусственного интеллекта, разработка новых оптимизационных фреймворков и применение био-вдохновлённых подходов.

В 2016—2017 годах наметился тренд на интеллектуализацию систем управления, где роль оператора сводилась к постановке задач^[25]. Для работы в недетерминированных средах начали применяться методы, основанные на нечёткой логике и ранних нейронных сетях^[25]. В этот же период для планирования траектории в реальном времени стал активно использоваться метод модельно-предиктивного управления (Model Predictive Control, MPC), в том числе его выпуклые варианты, представленные на конференции IROS 2017.

К началу 2020-х годов планирование пути робота окончательно разделилось на два уровня: глобальное (построение общего маршрута) и локальное (оптимизация участка траектории в реальном времени), где для последнего часто применялся MPC^[26]. Значительным шагом в 2022 году стала разработка методов построения топологических карт на основе нейронных сетей. В отличие от традиционных метрических карт, представляющих собой плотные сетки, топологические карты состоят из сети взаимосвязанных ключевых локаций (комнат, коридоров). Такой подход, реализованный, в частности, учёными из ФИЦ ИУ РАН, позволил сократить объём требуемой оперативной памяти в 5-6 раз^[27]. Также внимание уделялось оптимизации по критерию энергоэффективности, например, при движении по холмистой местности^[28].

2023 год ознаменовался появлением прорывных оптимизационных фреймворков. Исследователи из MIT представили фреймворк Graph-of-Convex-Sets (GCS), который представляет свободное от препятствий пространство в виде графа, состоящего из выпуклых множеств. Это позволяет быстро вычислять глобально оптимальные и безопасные траектории с помощью выпуклой оптимизации, превосходя по скорости и качеству пути традиционные алгоритмы, основанные на сэмплировании^[29]. В это же время получили развитие нейронные потенциальные поля — подход, при котором нейросеть обучается создавать потенциальное поле вокруг препятствий, градиент которого затем используется в рамках MPC для оптимизации траектории^[30]. Была также предложена концепция «нейро-навигатора», реализующая MPC в виде рекуррентной нейронной сети (RNN) для эффективной навигации среди движущихся препятствий^[31].

К 2024—2025 годам фокус сместился на био-вдохновлённую навигацию и так называемый «физический ИИ»^[32]. Учёные начали активно имитировать навигационные стратегии живых существ:

• Навигация, вдохновлённая мозгом животных: Разработаны алгоритмы на основе импульсных нейронных сетей (SNN), которые имитируют обработку информации в мозге и позволяют значительно снизить энергопотребление при распознавании мест^[33].
• Навигация, вдохновлённая муравьями: Для миниатюрных роботов предложены системы, компилирующие траекторию в виде сжатых панорамных изображений, что снижает требования к вычислительным ресурсам, подобно поведению пустынных муравьёв^[34].
• Имитация человеческой памяти: Подход с использованием топологических карт, как в методе PRISM-TopoMap, напрямую основан на том, как человек запоминает новое место, выделяя ключевые ориентиры и связи между ними, а не все детали^[27][35].

Эти разработки поддерживаются крупными платформами, такими как GR00T от Nvidia и моделями Google DeepMind, которые позволяют роботам обучаться на основе опыта и действовать в неструктурированных средах^[36][37].