Многоугольники

Многоуго́льник — это геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Если граничная ломаная не имеет точек самопересечения, многоугольник называется простым^[1]. Например, треугольники и квадраты — простые многоугольники, а пентаграмма — нет.

Точки перелома ломаной называются вершинами многоугольника, а её звенья — сторонами многоугольника. Число сторон многоугольника совпадает с числом его вершин.

• Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
• Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
• Общая длина всех сторон многоугольника называется его периметром.
• Диагоналями называются отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника.
• Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника.
• Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник.

• Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником, например, пентаграмма и октаграмма.
• Невыпуклый многоугольник — прямая, содержащая сторону многоугольника, делит его плоскость на части.
• Углом (или внутренним углом) плоского многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами, сходящимися в этой вершине.
• Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине.
• Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и так далее. Многоугольник с ${\displaystyle n}$ вершинами называется ${\displaystyle n}$-угольником.
• Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности. Сама окружность при этом называется описанной.
• Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной.

• Выпуклый многоугольник всегда простой, то есть не имеет точек самопересечения.
• Число углов простого многоугольника совпадает с числом его сторон или вершин.
• Угол многоугольника может превосходить ${\displaystyle 180^{\circ }}$ в том случае, если многоугольник невыпуклый.
• В случае невыпуклого многоугольника внешний угол — разность между ${\displaystyle 180^{\circ }}$ и внутренним углом, он может принимать значения от ${\displaystyle -180^{\circ }}$ до ${\displaystyle 180^{\circ }}$.
• Любой треугольник является вписанным в некоторую окружность.
• Любой треугольник является описанным около некоторой окружности.
• Центр вписанной в многоугольник окружности лежит на пересечении биссектрис углов многоугольника.
• Центр описанной вокруг многоугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Сумма внутренних углов простого выпуклого плоского ${\displaystyle n}$-угольника равна ${\displaystyle 180^{\circ }(n-2)}$.

Сумма внешних углов не зависит от числа сторон и всегда равна ${\displaystyle 360^{\circ }.}$