Метод Лиля

Графические приёмы решения уравнений известны с античности. Древнегреческие математики сводили квадратные уравнения к задачам на построение циркулем и линейкой, а Омар Хайям в XI веке решал кубические уравнения пересечением конических сечений^[4].

В XIX веке потребность в быстрых приближённых расчётах породила номографию — учение о графических вычислениях. Инженеры нуждались в способах, дающих ответ «по чертежу», без длительных выкладок; именно в этом контексте возник метод Лиля^[5].

Эдуард Лиль (1830—1900) — австрийский инженер, офицер, впоследствии специалист по транспортным расчётам. В 1867 году он опубликовал в журнале Nouvelles Annales de Mathématiques заметку, в которой описал графический способ решения численных уравнений любой степени и прибор для его реализации^[1]. Доказательство Лиль оставил читателю; строгие обоснования появились позднее^[6].

В том же 1867 году Шарль Эрмит представил метод Академии наук; совместная заметка Лиля и Эрмита опубликована в Comptes Rendus^[7]. Поддержка Эрмита обеспечила методу известность в математическом сообществе.

В 1936 году итальянский математик Маргерита Пьяццолла Белох показала, что построение Лиля реализуется складыванием бумаги: одно складывание, совмещающее две пары «точка — прямая», решает кубическое уравнение. Отсюда следует, что методами оригами разрешимы задачи удвоения куба и трисекции угла, неразрешимые циркулем и линейкой^[8][9].

Интерес к методу возобновился в XXI веке в связи с математикой оригами и преподаванием: наглядность построения делает его удобным для демонстрации связи алгебры и геометрии^[2].

Пусть дан многочлен

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0},\qquad a_{n}\neq 0.}$

Из начальной точки ${\displaystyle A}$ откладывают отрезок вправо длиной ${\displaystyle |a_{n}|}$, затем вверх длиной ${\displaystyle |a_{n-1}|}$, влево длиной ${\displaystyle |a_{n-2}|}$, вниз длиной ${\displaystyle |a_{n-3}|}$ и далее циклически. Каждый поворот совершается против часовой стрелки на прямой угол. Если коэффициент отрицателен, отрезок откладывают в противоположную сторону; если он равен нулю, звено вырождается в точку, но очередь направления сохраняется. Полученная ломаная называется путём многочлена, её последняя точка — терминалом ${\displaystyle T}$^[2].

Из точки ${\displaystyle A}$ пускают луч под углом ${\displaystyle \theta }$ к первому звену. Луч отражается под прямым углом от прямой, содержащей второе звено, затем от прямой третьего звена и так далее — по одному отражению на каждое звено, кроме первого. Полученная ломаная называется путём корня.

Если при некотором ${\displaystyle \theta }$ путь корня заканчивается в терминале ${\displaystyle T}$, то

${\displaystyle x=-\operatorname {tg} \theta }$

является корнем многочлена. Каждому вещественному корню отвечает ровно один такой угол^[2][6].

Знак минус в формуле объясняется выбором направления отсчёта: положительным корням отвечают углы, отложенные по часовой стрелке от первого звена.

Уравнение записывают в стандартном виде

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=0,\qquad a_{n}\neq 0,}$

выписывая все коэффициенты подряд, включая нулевые. Пропуск нулевого коэффициента сбивает очерёдность направлений и приводит к неверному чертежу.

Предварительно полезно выполнить два действия:

• Выделить нулевые корни. Если ${\displaystyle a_{0}=0}$, то ${\displaystyle x=0}$ — корень; вынося ${\displaystyle x}$ за скобки, понижают степень. Это необходимо сделать до построения (см. Особые случаи).
• Оценить область поиска. Все корни по модулю не превосходят границы Коши

${\displaystyle R=1+{\frac {\max _{0\leqslant k<n}|a_{k}|}{|a_{n}|}},}$

поэтому искомый угол лежит в пределах ${\displaystyle |\theta |<\operatorname {arctg} R}$. Например, для ${\displaystyle x^{3}-3x^{2}-x+3}$ имеем ${\displaystyle R=4}$ и ${\displaystyle |\theta |<75{,}96^{\circ }}$.

Число положительных корней оценивают по правилу знаков Декарта: оно не превосходит числа перемен знака в последовательности коэффициентов. Для ${\displaystyle x^{3}-3x^{2}-x+3}$ перемен знака две — и положительных корней ровно два (${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 3}$).

Из начальной точки ${\displaystyle A}$ откладывают звенья, длины которых равны модулям коэффициентов, в циклической последовательности направлений:

Коэффициент	Направление	Если коэффициент отрицателен
${\displaystyle a_{n}}$	вправо	влево
${\displaystyle a_{n-1}}$	вверх	вниз
${\displaystyle a_{n-2}}$	влево	вправо
${\displaystyle a_{n-3}}$	вниз	вверх
${\displaystyle a_{n-4}}$	вправо	влево
…	…	и так далее, цикл повторяется

Каждый поворот — на прямой угол против часовой стрелки. Нулевой коэффициент даёт звено нулевой длины: точка остаётся на месте, но направление всё равно меняется. Конечную точку обозначают ${\displaystyle T}$ и называют терминалом.

Через каждое звено, кроме первого, проводят прямую (продолжая звено в обе стороны). Эти прямые понадобятся на следующем шаге: отражения происходят от них, а не от самих отрезков, поэтому точка отражения может оказаться и вне звена.

Из точки ${\displaystyle A}$ проводят луч под углом ${\displaystyle \theta }$ к первому звену и строят ломаную: доходя до прямой второго звена, поворачивают на прямой угол, затем до прямой третьего звена и так далее — всего ${\displaystyle n}$ отражений. Угол ${\displaystyle \theta }$ подбирают так, чтобы ломаная закончилась в точке ${\displaystyle T}$.

Практически поиск ведут так:

1. Проводят луч под произвольным углом и строят ломаную до конца.
2. Смотрят, с какой стороны от ${\displaystyle T}$ оказался её конец.
3. Поворачивают луч в сторону ${\displaystyle T}$ и повторяют построение.

Конец ломаной отстоит от терминала на ${\displaystyle |P(x)\cdot x|}$, где ${\displaystyle x=-\operatorname {tg} \theta }$; эта величина обращается в нуль только в корне (при ${\displaystyle x\neq 0}$), поэтому промах служит указателем близости к решению. Так, для ${\displaystyle x^{3}-3x^{2}-x+3}$ при ${\displaystyle x=0{,}7}$ промах равен ${\displaystyle 0{,}8211}$, а при ${\displaystyle x=2{,}8}$ — уже ${\displaystyle 3{,}8304}$, что показывает: угол выбран не в ту сторону.

Знак промаха меняется при переходе через корень, что позволяет применять деление отрезка пополам: каждый шаг уменьшает неопределённость вдвое. Для приведённого примера уже одиннадцать делений отрезка ${\displaystyle [2;4]}$ дают ${\displaystyle x\approx 2{,}9995}$ при точном значении ${\displaystyle 3}$.

Найдя угол, вычисляют корень:

${\displaystyle x=-\operatorname {tg} \theta .}$

Практически удобнее не измерять угол, а взять отношение катетов первого звена ломаной: если луч, выйдя из ${\displaystyle A}$, отклонился от первого звена на ${\displaystyle h}$ при горизонтальном смещении ${\displaystyle d}$, то ${\displaystyle |x|=h/d}$. Знак определяется направлением отклонения: вниз от первого звена — корень положителен, вверх — отрицателен.

Найденный путь корня сам является путём Лиля для частного ${\displaystyle P(x)/(x-x_{0})}$. Именно: если разделить длины его звеньев на ${\displaystyle {\sqrt {1+x_{0}^{2}}}}$, получатся коэффициенты частного, а последнее звено обратится в нуль — это остаток от деления.

Например, для ${\displaystyle P(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6}$ и корня ${\displaystyle x_{0}=3}$ длины звеньев пути корня, делённые на ${\displaystyle {\sqrt {10}}}$, дают ${\displaystyle 1,\,-3,\,2,\,0}$, то есть

${\displaystyle {\frac {x^{3}-6x^{2}+11x-6}{x-3}}=x^{2}-3x+2.}$

Дальше работают с частным: строят для него новый (меньший) путь и повторяют шаги 1—5, пока степень не понизится до двух. Квадратное уравнение решают одним построением окружности на ${\displaystyle AT}$ как на диаметре (см. Пример 2).

При применении алгоритма следует учитывать три обстоятельства.

Значение ${\displaystyle x=0}$ проверяется отдельно. При ${\displaystyle \theta =0}$ луч идёт вдоль первого звена, и путь корня совпадает с путём многочлена, а значит, заканчивается в терминале при любом многочлене. Формально это согласуется с формулой промаха ${\displaystyle |P(x)\cdot x|}$, которая обращается в нуль при ${\displaystyle x=0}$ независимо от значения ${\displaystyle P(0)}$. Поэтому нулевой угол не свидетельствует о наличии корня: число ${\displaystyle 0}$ является корнем тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a_{0}=0}$, что видно непосредственно из условия, а не из чертежа.

Кратные корни. Кратному корню отвечает единственный путь, и кратность из чертежа не видна. Её определяют после понижения степени: если тот же корень обнаруживается и у частного, он кратный.

Комплексные корни. Если ни при каком угле ломаная не попадает в терминал, вещественных корней нет. Так, для ${\displaystyle x^{2}+1}$ промах равен ${\displaystyle x^{2}+1}$ и не обращается в нуль ни при каком вещественном ${\displaystyle x}$. Комплексные корни требуют отдельного построения, предложенного Лилем в 1868 году.

Решим уравнение ${\displaystyle x^{3}-6x^{2}+11x-6=0}$.

Шаг 0. Коэффициенты ${\displaystyle 1,\,-6,\,11,\,-6}$; свободный член отличен от нуля, значит ${\displaystyle x=0}$ не корень. Граница Коши ${\displaystyle R=1+11/1=12}$. Перемен знака три, поэтому положительных корней не более трёх, отрицательных нет (у ${\displaystyle P(-x)=-x^{3}-6x^{2}-11x-6}$ перемен знака нет).

Шаг 1. Путь: вправо на 1, вниз на 6 (коэффициент отрицателен), влево на 11, вверх на 6.

Шаги 2—4. Подбором угла находят три ломаных, попадающих в терминал; им отвечают ${\displaystyle x_{1}=1}$, ${\displaystyle x_{2}=2}$, ${\displaystyle x_{3}=3}$. Проверка по схеме Горнера для ${\displaystyle x=3}$:

${\displaystyle b_{0}=1,\quad b_{1}=1\cdot 3-6=-3,\quad b_{2}=-3\cdot 3+11=2,\quad b_{3}=2\cdot 3-6=0.}$

Шаг 5. Звенья пути корня, делённые на ${\displaystyle {\sqrt {10}}}$, дают ${\displaystyle 1,\,-3,\,2}$, то есть частное равно ${\displaystyle x^{2}-3x+2}$. Его корни ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 2}$ находят одним построением окружности, что подтверждает найденное разложение

${\displaystyle x^{3}-6x^{2}+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3).}$

Рассмотрим ${\displaystyle P(x)=x^{3}-3x^{2}-x+3}$. Коэффициенты: ${\displaystyle 1,\;-3,\;-1,\;3}$. Путь: вправо на 1, вверх на 3 в противоположную сторону (то есть вниз), влево на 1 в противоположную сторону (вправо), вниз на 3.

Схема Горнера при ${\displaystyle x=3}$:

${\displaystyle b_{0}=1,\quad b_{1}=1\cdot 3-3=0,\quad b_{2}=0\cdot 3-1=-1,\quad b_{3}=-1\cdot 3+3=0.}$

Так как ${\displaystyle b_{3}=P(3)=0}$, путь корня замыкается в терминале, и ${\displaystyle x=3}$ — корень. Аналогично проверяются ${\displaystyle x=1}$ и ${\displaystyle x=-1}$; разложение имеет вид ${\displaystyle P(x)=(x-3)(x-1)(x+1)}$.

Для квадратного трёхчлена путь состоит из трёх звеньев, а путь корня — из двух, то есть содержит единственную промежуточную вершину. Она видна из ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle T}$ под прямым углом, поэтому по теореме о вписанном угле лежит на окружности с диаметром ${\displaystyle AT}$^[2].

Для ${\displaystyle P(x)=3x^{2}+5x-2}$ путь: вправо на 3, вверх на 5, влево на 2 в противоположную сторону. Окружность, построенная на ${\displaystyle AT}$ как на диаметре, пересекает прямую среднего звена в двух точках, что даёт корни

${\displaystyle x_{1}={\tfrac {1}{3}},\qquad x_{2}=-2.}$

Проверка: ${\displaystyle 3\cdot {\tfrac {1}{9}}+5\cdot {\tfrac {1}{3}}-2=0}$ и ${\displaystyle 3\cdot 4-10-2=0}$.

Число точек пересечения отвечает знаку дискриминанта: две точки — два корня, касание — кратный корень, отсутствие пересечения — комплексные корни.

Для ${\displaystyle P(x)=4x^{3}+2x^{2}-2x-1}$ коэффициенты ${\displaystyle a_{1}=-2}$ и ${\displaystyle a_{0}=-1}$ отрицательны, поэтому соответствующие звенья откладываются в направлениях, противоположных предписанным. Многочлен раскладывается как ${\displaystyle (2x+1)(2x^{2}-1)}$, его корни

${\displaystyle x_{1}=-{\tfrac {1}{2}},\qquad x_{2,3}=\pm {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\approx \pm 0{,}7071.}$

Пример показывает, что метод даёт и иррациональные корни: построение не требует, чтобы корни были рациональными.

Для ${\displaystyle P(x)=x^{3}-2}$ коэффициенты при ${\displaystyle x^{2}}$ и ${\displaystyle x}$ равны нулю, поэтому второе и третье звенья вырождаются в точки, но повороты выполняются. Единственный вещественный корень

${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{2}}\approx 1{,}2599}$

есть решение классической задачи об удвоении куба. Теорема Ванцеля утверждает, что это число не строится циркулем и линейкой; метод Лиля обходит запрет, поскольку требует не построения, а подбора направления луча — операции, недоступной классическим инструментам, но выполнимой складыванием бумаги^[9].

Возьмём тот же многочлен ${\displaystyle x^{3}-3x^{2}-x+3}$ и ${\displaystyle x=0{,}7}$. Схема Горнера даёт

${\displaystyle b_{0}=1,\quad b_{1}=-2{,}3,\quad b_{2}=-2{,}61,\quad b_{3}=1{,}173.}$

Поскольку ${\displaystyle P(0{,}7)=1{,}173\neq 0}$, путь корня не попадает в терминал; величина промаха равна ${\displaystyle |P(x)\cdot x|=0{,}8211}$. Это свойство позволяет использовать метод для приближённого поиска: вращая луч, наблюдают, как конец пути приближается к терминалу.

Из формулы тройного угла ${\displaystyle \cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha }$ следует, что ${\displaystyle t=\cos \alpha }$ удовлетворяет уравнению

${\displaystyle 4t^{3}-3t-\cos 3\alpha =0.}$

При ${\displaystyle 3\alpha =60^{\circ }}$ получаем ${\displaystyle 4t^{3}-3t-0{,}5=0}$ с корнем ${\displaystyle t=\cos 20^{\circ }\approx 0{,}9397}$. Построение Лиля для этого многочлена (и соответствующее складывание бумаги) выполняет трисекцию угла^[9].

Наибольшее современное применение метод нашёл в математике оригами. Согласно аксиомам Хузиты — Хатори, шестая аксиома позволяет одним складыванием совместить две точки с двумя прямыми; Белох показала, что такое складывание в точности строит путь корня Лиля для кубического уравнения^[8][9].

Отсюда следует, что складыванием бумаги решаются задачи, неразрешимые циркулем и линейкой: удвоение куба и трисекция угла. Если допускать несколько одновременных складок, то уравнение степени ${\displaystyle n}$, имеющее вещественный корень, решается ${\displaystyle n-2}$ одновременными складками^[9].

Метод используется как наглядная иллюстрация к схеме Горнера, делению многочленов и связи алгебры с геометрией. Он показывает «на чертеже», почему число вещественных корней не превосходит степени, и делает зримым понятие кратности^[2].

До распространения вычислительной техники графические методы применялись в инженерной практике. Лиль сконструировал прибор для механического воспроизведения построения; аналогичные устройства входили в арсенал номографии наряду с логарифмической линейкой^[1][5].

Точность метода определяется точностью чертежа и на практике не превышает двух-трёх значащих цифр, поэтому для вычислений он вытеснен численными методами — методом Ньютона, методом Лобачевского — Греффе и алгоритмами, основанными на вычислении собственных значений сопровождающей матрицы. Метод не даёт комплексных корней в своей основной форме и не показывает кратность^[2].