Логика Лукашевича

Развитие логики Лукашевича было мотивировано советом Аристотеля о том, что двузначная логика не применима к будущим контингентам, например, к высказыванию «Завтра будет морское сражение». Иными словами, высказывания о будущем не являются ни истинными, ни ложными, для них может быть установлено промежуточное значение, отражающее возможность того, что они станут истиной в будущем.

Пропозициональные связки логики Лукашевича включают ${\displaystyle \rightarrow }$ («импликация») и константу ${\displaystyle \bot }$ («ложь»). Остальные связки могут быть определены через эти:

${\displaystyle {\begin{aligned}\neg A&=_{def}A\rightarrow \bot \\A\vee B&=_{def}(A\rightarrow B)\rightarrow B\\A\wedge B&=_{def}\neg (\neg A\vee \neg B)\\A\leftrightarrow B&=_{def}(A\rightarrow B)\wedge (B\rightarrow A)\\\top &=_{def}\bot \rightarrow \bot \end{aligned}}}$

Связки ${\displaystyle \vee }$ и ${\displaystyle \wedge }$ называют слабыми дизъюнкцией и конъюнкцией, поскольку для них не выполняется закон исключённого третьего. В контексте субструктурных логик они называются аддитивными связками. Также они соответствуют операциям минимума и максимума в решётках.

В рамках субструктурных логик также определяются сильные (или мультипликативные) дизъюнкция и конъюнкция, хотя в исходном изложении Лукашевича они отсутствовали:

${\displaystyle {\begin{aligned}A\oplus B&=_{def}\neg A\rightarrow B\\A\otimes B&=_{def}\neg (A\rightarrow \neg B)\end{aligned}}}$

Также определяются модальные операторы на основе модальности Тарского:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Diamond A&=_{def}\neg A\rightarrow A\\\Box A&=_{def}\neg \Diamond \neg A\end{aligned}}}$

Первоначальная система аксиом пропозициональной бесконечно-значной логики Лукашевича использовала импликацию и отрицание в качестве примитивных связок, а также правило модус поненс:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&\rightarrow (B\rightarrow A)\\(A\rightarrow B)&\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))\\((A\rightarrow B)\rightarrow B)&\rightarrow ((B\rightarrow A)\rightarrow A)\\(\neg B\rightarrow \neg A)&\rightarrow (A\rightarrow B).\end{aligned}}}$

Пропозициональная бесконечно-значная логика Лукашевича может быть также аксиоматизирована добавлением к аксиомам мономиальной т-нормовой логики следующих аксиом:

Делимость

${\displaystyle (A\wedge B)\rightarrow (A\otimes (A\rightarrow B))}$

Двойное отрицание

${\displaystyle \neg \neg A\rightarrow A.}$

Таким образом, бесконечно-значная логика Лукашевича получается добавлением аксиомы двойного отрицания к базовой нечёткой логике (BL), либо аксиомы делимости к логике IMTL.

Для конечномногозначных логик Лукашевича требуются дополнительные аксиомы.

Для трёхзначной логики Лукашевича Арнон Аврон в 1991 году предложил гиперсеквентное исчисление^[6].

Секвентные исчисления для конечномногозначных и бесконечно-значных логик Лукашевича, рассматриваемые как расширения линейной логики, были предложены A. Приятель в 1994 году^[7]. Однако эти системы не обладают свойством устранения сечений.

Гиперсеквентные исчисления для логик Лукашевича были разработаны A. Чабаттони и соавторами в 1999 году^[8], однако для конечных логик при ${\displaystyle n>3}$ они не являются устранимыми по сечениям.

Меченое табличное исчисление было предложено Николой Оливетти в 2003 году^[9].

Гиперсеквентное исчисление для бесконечно-значной логики Лукашевича было предложено Джорджем Меткалфом в 2004 году^[10].

Бесконечно-значная логика Лукашевича — это логика с вещественными значениями, где предложения могут принимать значения не только 0 или 1, но и любое вещественное число на этом отрезке (например, 0,25). Оценки определяются рекурсивно:

• ${\displaystyle w(\theta \circ \phi )=F_{\circ }(w(\theta ),w(\phi ))}$ для бинарной связки ${\displaystyle \circ }$,
• ${\displaystyle w(\neg \theta )=F_{\neg }(w(\theta ))}$,
• ${\displaystyle w\left({\overline {0}}\right)=0}$ и ${\displaystyle w\left({\overline {1}}\right)=1}$,

При этом операции определяются следующим образом:

• Импликация: ${\displaystyle F_{\rightarrow }(x,y)=\min\{1,1-x+y\}}$
• Эквиваленция: ${\displaystyle F_{\leftrightarrow }(x,y)=1-|x-y|}$
• Отрицание: ${\displaystyle F_{\neg }(x)=1-x}$
• Слабая конъюнкция: ${\displaystyle F_{\wedge }(x,y)=\min\{x,y\}}$
• Слабая дизъюнкция: ${\displaystyle F_{\vee }(x,y)=\max\{x,y\}}$
• Сильная конъюнкция: ${\displaystyle F_{\otimes }(x,y)=\max\{0,x+y-1\}}$
• Сильная дизъюнкция: ${\displaystyle F_{\oplus }(x,y)=\min\{1,x+y\}}$
• Модальные функции: ${\displaystyle F_{\Diamond }(x)=\min\{1,2x\},\quad F_{\Box }(x)=\max\{0,2x-1\}}$

Функция истинности ${\displaystyle F_{\otimes }}$ (сильная конъюнкция) — это т-норма Лукашевича, а ${\displaystyle F_{\oplus }}$ (сильная дизъюнкция) — её дуальная т-конорма. Например, ${\displaystyle F_{\otimes }(.5,.5)=0}$, ${\displaystyle F_{\oplus }(.5,.5)=1}$; если ${\displaystyle T(p)=.5}$, то ${\displaystyle T(p\wedge p)=T(\neg p\wedge \neg p)=0}$, в то время как ${\displaystyle T(p\vee p)=T(\neg p\vee \neg p)=1}$.

Импликация ${\displaystyle F_{\rightarrow }}$ — это резидуум т-нормы Лукашевича. Все функции истинности основных связок являются непрерывными.

Формула является тавтологией бесконечно-значной логики Лукашевича, если она принимает значение 1 при любых оценках пропозициональных переменных на отрезке [0, 1].

Используя те же формулы оценки, что и для вещественнозначных интерпретаций, Лукашевич (1922) также определил (с точностью до изоморфизма) семантики над:

• любым конечномногозначным множеством мощности n ≥ 2 с областью значений { 0, 1/(n − 1), 2/(n − 1), ..., 1 }
• любым счётным множеством с областью { p/q | 0 ≤ p ≤ q; p — неотрицательное целое, q — положительное целое }.

Стандартная вещественная семантика, определяемая т-нормой Лукашевича, не является единственной возможной семантикой логики Лукашевича. Общая алгебраическая семантика пропозициональной бесконечно-значной логики Лукашевича задаётся классом всех MV-алгебр; стандартная вещественная семантика соответствует специальной MV-алгебре (стандартной MV-алгебре).

Как и другие т-нормовые нечёткие логики, бесконечно-значная логика Лукашевича обладает полнотой относительно всех алгебр, в которых она корректна (MV-алгебр), а также относительно только линейно упорядоченных. Это выражается следующими теоремами о полноте^[4]:

Следующие утверждения эквивалентны:

• ${\displaystyle A}$ выводима в пропозициональной бесконечно-значной логике Лукашевича
• ${\displaystyle A}$ обобщённо верна во всех MV-алгебрах (общая полнота)
• ${\displaystyle A}$ верна во всех линейно упорядоченных MV-алгебрах (линейная полнота)
• ${\displaystyle A}$ верна в стандартной MV-алгебре (стандартная полнота).

Здесь «верна» означает «неизбежно принимает значение 1».

В 1984 году Фонт, Родригес и Торренс ввели алгебру Вайсберга как альтернативную модель бесконечно-значной логики Лукашевича^[11].

Попытка Григоре Мойсила в 1940-х создать алгебраическую семантику для n-значной логики Лукашевича с помощью алгебры Лукашевича — Мойсила (так называемых алгебр Лукашевича) оказалась некорректной для n ≥ 5 (об этом сообщил Алан Роуз в 1956 году). MV-алгебра Ч. Чанга — модель для ℵ₀-значной логики Лукашевича — Тарского и была опубликована в 1958 году. Для значительно более сложных в аксиоматике конечномногозначных логик Лукашевича соответствующие алгебры были предложены Ревазом Григолия в 1977 году и названы MV_n-алгебрами^[12]. MV_n-алгебры — это подкласс LM_n-алгебр, причём включение строгое при n ≥ 5^[13]. В 1982 году Роберто Чиньоли предложил дополнительные ограничения для LM_n-алгебр, благодаря которым они становятся корректной моделью для n-значной логики Лукашевича; такие структуры были названы корректными алгебрами Лукашевича^[14].

Логики Лукашевича являются co-NP-полными^[15].

Логики Лукашевича можно рассматривать как модальные логики, исследующие понятия возможности и необходимости^[16], используя определённые выше операторы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Diamond A&=_{def}\neg A\rightarrow A\\\Box A&=_{def}\neg \Diamond \neg A\\\end{aligned}}}$

Также предложен третий, сомнительный оператор: ${\displaystyle \odot A=_{def}A\leftrightarrow \neg A}$^[17].

Из этих определений вытекают следующие утверждения (свойственные многим модальным логикам):

${\displaystyle {\begin{aligned}A&\rightarrow \Diamond A\\\Box A&\rightarrow A\\A&\rightarrow (A\rightarrow \Box A)\\\Box (A\rightarrow B)&\rightarrow (\Box A\rightarrow \Box B)\\\Box (A\rightarrow B)&\rightarrow (\Diamond A\rightarrow \Diamond B)\\\end{aligned}}}$

Также можно доказать распределительные свойства для сильных связок:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Box (A\otimes B)&\leftrightarrow \Box A\otimes \Box B\\\Diamond (A\oplus B)&\leftrightarrow \Diamond A\oplus \Diamond B\\\Diamond (A\otimes B)&\rightarrow \Diamond A\otimes \Diamond B\\\Box A\oplus \Box B&\rightarrow \Box (A\oplus B)\end{aligned}}}$

Дополнительно выполняются следующие соотношения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Box A\vee \Box B&\leftrightarrow \Box (A\vee B)\\\Box A\wedge \Box B&\leftrightarrow \Box (A\wedge B)\\\Diamond A\vee \Diamond B&\leftrightarrow \Diamond (A\vee B)\\\Diamond A\wedge \Diamond B&\leftrightarrow \Diamond (A\wedge B)\end{aligned}}}$

Другими словами, если ${\displaystyle \Diamond A\wedge \Diamond \neg A}$, то ${\displaystyle \Diamond (A\wedge \neg A)}$, что кажется контринтуитивным^[18][19].

Однако такие спорные теоремы иногда интерпретируются как модель модальной логики «о будущих контингентах» (А. Н. Прайор)^[20]. Примечательно, что ${\displaystyle \Diamond A\wedge \Diamond \neg A\leftrightarrow \odot A}$.