Логарифмическая функция, её график

Логарифми́ческая фу́нкция — функция, ставящая в соответствие каждому положительному числу его логарифм по данному положительному и отличному от единицы основанию:

${\displaystyle y=\log _{a}x}$.

Логарифмическая функция определена при ${\displaystyle a>0;\ a\neq 1;x>0}$. Область значений: ${\displaystyle E(y)=(-\infty ;+\infty )}$.

Кривую графика логарифмической функции часто называют логарифмикой^[1]. Из формулы замены основания логарифма

${\displaystyle \log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}}$

видно, что графики логарифмических функций с разными основаниями, бо́льшими единицы, отличаются один от другого только масштабом по оси ${\displaystyle y}$; графики для оснований, меньших единицы, являются их зеркальным отражением относительно горизонтальной оси.

Из определения следует, что логарифмическая функция есть обратная функция для показательной функции ${\displaystyle y=a^{x}}$, поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов. Как и показательная, логарифмическая функция относится к категории трансцендентных функций.

Функция является строго возрастающей при ${\displaystyle a>1}$ и строго убывающей при ${\displaystyle 0<a<1}$. График любой логарифмической функции проходит через точку ${\displaystyle (1;0)}$. Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Ось ординат (${\displaystyle x=0}$) является вертикальной асимптотой.

Производная логарифмической функции равна:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}x={\frac {1}{x\cdot \ln a}}}$

1. Область определения: ${\displaystyle x>0}$; ${\displaystyle D(\log _{a}x)=(0;+\infty )}$
2. Область значений: ${\displaystyle y\in R}$; ${\displaystyle E(\log _{a}x)=R}$
3. Функция ни чётная, ни нечётная
4. Точки пересечения с осями координат:

   с осью ${\displaystyle OY}$ — нет; с осью ${\displaystyle OX}$ — ${\displaystyle (1;0)}$

5. Функция ${\displaystyle \log _{a}x}$ возрастает при ${\displaystyle a>1}$ на всей области определения
6. Функция ${\displaystyle \log _{a}x}$ убывает при ${\displaystyle 0<a<1}$ на всей области определения
7. Промежутки знакопостоянства:

   при ${\displaystyle a>1}$:

   ${\displaystyle \log _{a}x>0}$ при ${\displaystyle x>1}$;

   ${\displaystyle \log _{a}x<0}$ при ${\displaystyle 0<x<1}$

   при ${\displaystyle 0<a<1}$:

   ${\displaystyle \log _{a}x>0}$ при ${\displaystyle 0<x<1}$;

   ${\displaystyle \log _{a}x<0}$ при ${\displaystyle x>1}$;

8. Наибольшего и наименьшего значения нет.