Линейное приближение

Линейное приближение (линейная аппроксимация) — приближение произвольной функции линейной функцией. Применяется для приближённых расчётов, в методе конечных разностей для решения дифференциальных уравнений.

Для непрерывно дифференцируемой в окрестности точки ${\displaystyle a}$ функции вещественной переменной ${\displaystyle f(x)}$ линейное приближение определяется как:

${\displaystyle f_{a}^{*}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)}$.

Определение получается из равенства из теоремы Тейлора ${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}}$ игнорированием остаточного члена ${\displaystyle R_{2}(x)=o(|x-a|)}$. Поскольку в ближайшей окрестности точки ${\displaystyle a}$ значения этой функции близки к значениям ${\displaystyle f(x)}$, её можно использовать как замену значений ${\displaystyle f(x)}$ в приближённых вычислениях. При этом в общем случае погрешность возрастает при удалении от ${\displaystyle a}$ и равна ${\displaystyle R_{2}}$. График функции ${\displaystyle f_{a}^{*}(x)}$ — касательная к графику ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle a}$.

Определение естественным образом обобщается на многомерный случай (вместо производной используется матрица Якоби) и на случай банаховых пространств (с использованием производной Фреше).