Лемма

Леммы часто носят имена своих открывателей:

• Лемма Цорна
• Лемма Шпернера
• Лемма Евклида
• Лемма Гаусса
• Лемма Цассенхауса (также «Бабочковая лемма») о субнормальных рядах групп
• Лемма Маргулиса (часто «лемма Маргулиса—Цассенхауса» или «лемма Каздана—Маргулиса—Цассенхауса») о матричных группах

Можно доказать, что ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ — иррациональное число (как теорему), если предположить, что квадраты чётных чисел снова чётны, а квадраты нечётных чисел всегда нечётны (это утверждение и будет леммой). Для большей структурированности обе эти факта доказывают отдельно, причём утверждение леммы впоследствии может быть использовано и в других случаях или доказательствах, тогда как «теорема» даёт частное утверждение.

Для реализации приведённого примера можно действовать следующим образом.

Лемма: Квадраты чётных и нечётных целых чисел всегда чётны и нечётны соответственно.

Доказательство: Пусть ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} }$ — произвольное целое число. Требуется показать, что ${\displaystyle x^{2}}$ удовлетворяет соответствующему утверждению, то есть если ${\displaystyle x=2y}$ (чётное) или ${\displaystyle x=2y+1}$ (нечётное) для некоторого ${\displaystyle y\in \mathbb {Z} }$, то ${\displaystyle x^{2}}$ соответственно чётно или нечётно.

Оба случая рассматриваются отдельно. В первом случае (${\displaystyle x=2y}$) имеем ${\displaystyle x^{2}=(2y)^{2}=2^{2}\cdot y^{2}}$ (по правилам действий со степенями) ${\displaystyle =2\cdot 2y^{2}}$, то есть чётное число. Во втором случае (${\displaystyle x=2y+1}$) получаем ${\displaystyle x^{2}=(2y+1)^{2}=(2y)^{2}+2\cdot 2y\cdot 1+1^{2}}$ (по биному Ньютона) ${\displaystyle =2\cdot (2y^{2}+2y)+1}$, то есть нечётное число.

Теорема: ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ — иррациональное число, то есть ${\displaystyle {\sqrt {2}}\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$.

Доказательство: Утверждение доказывается методом от противного.

Пусть ${\displaystyle {\sqrt {2}}\in \mathbb {Q} }$. Тогда существуют взаимно простые ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle b\in \mathbb {N} }$ такие, что ${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}}$. Возведя обе части в квадрат и умножив на ${\displaystyle b^{2}}$, получаем ${\displaystyle 2\cdot b^{2}=a^{2}}$. Так как левая часть чётна, то и правая чётна. По доказанной выше лемме, ${\displaystyle a}$ также чётно (так как если бы ${\displaystyle a}$ было нечётно, ${\displaystyle a^{2}}$ было бы нечётно), значит, существует ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$ такое, что ${\displaystyle a=2c}$. Подставляя, получаем ${\displaystyle b^{2}={\frac {a^{2}}{2}}={\frac {(2c)^{2}}{2}}=2c^{2}}$, откуда видно, что ${\displaystyle b^{2}}$, а значит и ${\displaystyle b}$ (снова по лемме), чётно. Это противоречит предположению о взаимной простоте ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. Следовательно, предположение о рациональности ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ неверно, и теорема доказана.