Корни из единицы

Кубические корни из единицы:

${\displaystyle \left\{1,{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}.}$

Корни 4-й степени из единицы:

${\displaystyle \left\{1,+i,-1,-i\right\}.}$

Для корня 5-й степени имеются 4 порождающих элемента, степени каждого из которых охватывают все корни 5-й степени:

${\displaystyle {\Big \{}e^{\frac {2\pi ik}{5}}\,{\Big |}\,k\in \{1,2,3,4\}{\Big \}}=\left\{\left.{\frac {u{\sqrt {5}}-1}{4}}+v{\sqrt {\frac {5+u{\sqrt {5}}}{8}}}i\,\right|\,u,v\in \{-1,1\}\right\}.}$

Для корня 6-й степени порождающих элементов только два (${\displaystyle u_{1}}$ и ${\displaystyle u_{5}}$):

${\displaystyle \left\{{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}.}$

Модуль каждого корня равен 1. На комплексной плоскости корни из единицы образуют вершины правильного многоугольника, вписанного в единичную окружность. Одной из вершин всегда является комплексная единица ${\displaystyle 1+0i.}$ Вещественных корней может быть либо два, если ${\displaystyle n}$ чётно (единица и минус единица), либо один (единица), если ${\displaystyle n}$ нечётно. В любом случае невещественных корней чётное число, они располагаются симметрично относительно горизонтальной оси. Последнее означает, что если ${\displaystyle u_{k}}$ — корень из единицы, то сопряжённое к нему число ${\displaystyle {\overline {u_{k}}}}$ — тоже корень из единицы^[3].

Пусть M — произвольная точка единичной окружности и ${\displaystyle n>1.}$ Тогда сумма квадратов расстояний от M до всех корней ${\displaystyle n}$-й степени из единицы равна ${\displaystyle 2n}$^[4].

Корни из единицы представляют собой целые алгебраические числа.

Корни из единицы образуют по умножению коммутативную конечную группу порядка ${\displaystyle n}$. В частности, любая целая степень корня из единицы тоже является корнем из единицы. Обратный элемент для каждого элемента этой группы совпадает с сопряжённым ему. Нейтральным элементом группы является комплексная единица^[3].

Группа корней из единицы изоморфна аддитивной группе классов вычетов ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}.}$ Отсюда следует, что она является циклической группой; в качестве порождающего (первообразного) можно взять любой элемент ${\displaystyle u_{k}}$, индекс ${\displaystyle k}$ которого взаимно прост с ${\displaystyle n}$.

Следствия^[3]:

• элемент ${\displaystyle u_{1}}$ всегда является первообразным (его часто называют главным корнем из единицы);
• если ${\displaystyle n}$ — простое число, то степени любого корня, кроме ${\displaystyle \pm 1}$, охватывают всю группу (то есть все корни, кроме ${\displaystyle \pm 1}$, являются первообразными);
• число первообразных корней равно ${\displaystyle \varphi (n)}$, где ${\displaystyle \varphi }$ — функция Эйлера.

Если ${\displaystyle n>1}$, то для любого первообразного корня из единицы ${\displaystyle u}$ имеют место формулы

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}u^{k}={\frac {u^{n}-1}{u-1}}=0,}$

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}|1-u_{k}|=n.}$