Конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развёртка

Ко́нус — поверхность, образованная в пространстве множеством лучей (образующих конус), соединяющих все точки некоторой плоской кривой (направляющей конуса) с данной точкой пространства (вершиной конуса)^[1].

Если направляющая конуса — замкнутая кривая, то коническая поверхность служит границей пространственного тела, которое также называют «конусом», а внутренность этой кривой называют «основанием конуса», если основание конуса представляет собой многоугольник, такой конус является пирамидой.

Иногда вместо лучей рассматривают прямые, тогда получается двойной конус, состоящий из двух симметричных относительно вершины частей.

Конус и связанные с ним конические сечения играют большую роль в математике, астрономии и других науках.

• Боковая поверхность конуса — объединение образующих конуса; образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
• Высота конуса — отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка).
• Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
• Конусность — соотношение высоты и диаметра основания конуса.

• Прямой конус — конус, основание которого имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром; при этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
• Косой (или наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
• Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
• Конус вращения, или прямой круговой конус (часто под конусом подразумевают именно его) — конус, который можно получить вращением (то есть тело вращения) прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет треугольника (эта прямая является осью конуса).
• Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом: последние два имеют бесконечный объём.
• Усечённый конус или конический слой — часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием.
• Равносторонний конус — конус вращения, образующая которого равна диаметру основания^[2].

• Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания.

${\displaystyle V={1 \over 3}SH,}$

где S — площадь основания, H — высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

• Центр тяжести любого конуса лежит на четверти высоты от основания.
• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

${\displaystyle 2\pi \left(1-\cos {\alpha \over 2}\right),}$

где α — угол раствора конуса.

• Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса равна

${\displaystyle S=\pi Rt,}$

а в общем случае

${\displaystyle S={\frac {tl}{2}},}$

где R — радиус основания, ${\displaystyle t={\sqrt {R^{2}+H^{2}}}}$ — длина образующей, ${\displaystyle l}$ — длина границы основания.

Полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания) равна

${\displaystyle S=\pi R(t+R),}$

для прямого кругового конуса и

${\displaystyle S={\frac {tl}{2}}+S_{\text{ос}},}$

для произвольного, где ${\displaystyle S_{\text{ос}}}$ — площадь основания.

• Объём кругового (не обязательно прямого) конуса равен

${\displaystyle V={1 \over 3}\pi R^{2}H.}$

• Для усечённого кругового конуса (не обязательно прямого) объём равен:

${\displaystyle V={1 \over 3}\pi H(R^{2}+Rr+r^{2}),}$

где ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle r}$ — радиусы соответственно нижнего и верхнего оснований, ${\displaystyle H}$ — высота от плоскости нижнего основания, до верхнего основания.

• Для произвольного усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:

${\displaystyle V={1 \over 3}(H_{2}S_{2}-H_{1}S_{1}),}$

где ${\displaystyle S_{1}}$ и ${\displaystyle S_{2}}$ — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, ${\displaystyle H_{1}}$ и ${\displaystyle H_{2}}$ — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

• Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях — эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от положения секущей плоскости).