Квантовая ёмкость

Если одна из обкладок конденсатора представляет собой металл с высокой плотностью состояний, а другая, расположенный на расстоянии d, — ДЭГ с много меньшей плотностью состояний, то изменение напряжения δV на этом конденсаторе приводит к изменению электрического поля между обкладками δE, а также к сдвигу химического потенциала δμ, что можно записать в виде:

${\displaystyle \delta V=\delta Ed+{\frac {\delta \mu }{e}}=\delta Ed+{\frac {\partial \mu }{\partial n}}{\frac {\delta n}{e}}.}$

Это выражение можно переписать с учётом вариации заряда δρ=eδn и, воспользовавшись теоремой Гаусса δE=δρ/ε, где ε=ε_dε₀ произведение диэлектрической постоянной материала диэлектрика и диэлектрической постоянной вакуума, через ёмкость, нормированную на площадь обкладок C/A=δρ/δV в упрощённом виде

${\displaystyle {\frac {A}{C}}={\frac {d}{\varepsilon }}+{\frac {1}{e^{2}}}{\frac {\partial \mu }{\partial n}}}$

Первое слагаемое — это обратная ёмкость плоского конденсатора, а второе слагаемое связано с понятием квантовой ёмкости, которая пропорциональна плотности состояний

${\displaystyle C_{Q}=e^{2}\cdot D_{2D}}$,

где e — элементарный заряд. Если переписать ёмкость в терминах длины экранирования

${\displaystyle \lambda ={\frac {\varepsilon }{e^{2}}}{\frac {\partial \mu }{\partial n}}}$,

то выражение примет ещё более прозрачный вид

${\displaystyle {\frac {C}{A}}={\frac {\varepsilon }{(d+\lambda )}},}$

поясняющий влияние конечной длины проникновения электрического поля в материал с меньшей плотностью состояний, чем у металла. Фактически расстояние между обкладками увеличивается на длину экранирования.^[3]

Для ДЭГ плотность состояний равна (учтено только спиновое вырождение)^[2]

${\displaystyle D_{2D}=4\pi {\frac {m}{h^{2}}}\ }$,

где ${\displaystyle m}$ — эффективная масса носителей тока. Так как плотность состояний ДЭГ не зависит от концентрации, то квантовая ёмкость тоже не зависит от концентрации, хотя при учёте электрон-электронных взаимодействий квантовая ёмкость зависит от энергии^[4][5].

Для электронного газа, как и для обычного идеального газа можно ввести понятие сжимаемости K, обратная величина которой определяется как взятое с отрицательным знаком произведение объёма газа V и изменения давления P электронного газа при изменении объёма с сохранением числа частиц N:

${\displaystyle {\frac {1}{K}}=-V\left({\frac {dP}{dV}}\right)_{N}.}$

Другое важное соотношение получается из теоремы Зейтца^[6]:

${\displaystyle {\frac {1}{K}}=n^{2}{\frac {d\mu }{dn}}.}$

Отсюда следует, что измеряя квантовую ёмкость мы также получаем информацию о сжимаемости электронного газа.

Для того чтобы учесть распределение электронов по энергии (распределение Ферми — Дирака ${\displaystyle f(\varepsilon -\mu )}$) из-за конечной температуры T, вводят так называемую термодинамическую плотность состояний, определяемую как^[7][8]

${\displaystyle D(\mu )=\int _{-\infty }^{\infty }d\varepsilon N(\varepsilon )\left(-{\frac {\partial f(\varepsilon )}{\partial \varepsilon }}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {N(\varepsilon )d\varepsilon }{4k_{B}T{\textrm {cosh}}^{2}\left({\frac {\varepsilon -\mu }{2k_{B}T}}\right)}},}$

где ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ — плотность состояний при нулевой температуре; ${\displaystyle k_{B}}$ — постоянная Больцмана.

Для графена, где плотность состояний пропорциональна энергии, квантовая ёмкость зависит от концентрации^[9]:

${\displaystyle C_{Q}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {e^{2}}{\hbar v_{F}}}{\sqrt {n}},}$

где ${\displaystyle \hbar }$ — редуцированная постоянная Планка; ${\displaystyle v_{F}}$ — фермиевская скорость.

Применительно к одномерному случаю графеновых нанотрубок квантовая ёмкость на единицу длины определяется выражением^[2]

${\displaystyle C_{Q}=2{\frac {e^{2}}{hv_{F}}}}$,

где ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка.