Исчезновение клетки

Математический софизм — утверждение, которое кажется удивительным, но содержит скрытые ошибки в доказательстве. Причины ошибки могут быть разнообразными — неточное использование математических законов или использование вне зоны их применимости, логические ошибки и т. д. Софизмы существуют во всех областях математики, и лучшие из них используют тонкие ошибки в рассуждениях, чтобы привести к невероятным выводам^[1].

Геометрические софизмы построены на ошибках, связанных с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Поскольку все представленные задачи выполняются на бумаге в клетку, то в дальнейшем единицы измерения опускаются.

Разрежем данный прямоугольный треугольник на четыре части, а затем составим из этих частей новый треугольник такой же величины. Видно, что после перестановки местами разрезанных частей общая площадь изменяется на одну клетку, то есть появляется дополнительная клетка.

Перестановка частей

Рассмотрим красный и голубой треугольники: в красном треугольнике отношение катетов (тангенс угла при основании) равно ${\displaystyle 3:8}$, а в голубом — ${\displaystyle 2:5}$. Следовательно, соответствующие углы при основаниях этих треугольников не равны. А значит, их гипотенузы не лежат на одной прямой.

Появление клетки

Линия, которая кажется гипотенузой большого треугольника, на деле является ломаной, то есть рассматриваемая фигура — не треугольник, а четырёхугольник. У верхней фигуры ломаная чуть вогнута, у нижней — чуть выпукла, и разница в площадях треугольников даёт «лишнюю» клетку. Если наложить верхнюю и нижнюю фигуры друг на друга, то между их «гипотенузами» образуется параллелограмм, в котором и содержится «лишняя» площадь. На рисунке ниже этот параллелограмм приведён в верных пропорциях. Визуально столь ничтожное отличие незаметно.

«Гипотенуза» на самом деле является ломаной линией

Возьмём квадрат со стороной ${\displaystyle 8}$ и разрежем его на четыре части: две трапеции и два прямоугольных треугольника, как показано на рисунке слева. Укладывая эти четыре части в другом порядке, как показано на рисунке справа, мы получим прямоугольник с основанием ${\displaystyle 13}$ и высотой ${\displaystyle 5}$. Площадь этого прямоугольника равна ${\displaystyle 13\cdot 5=65}$, в то время как площадь первоначально взятого квадрата ${\displaystyle 8\cdot 8=64}$. Как это возможно?

Площадь квадрата — 64, а составленного прямоугольника — 65. Как это возможно?

Вычислим площадь каждой получившейся после разрезания трапеции: ${\displaystyle {1 \over 2}\cdot (5+3)\cdot 5=20}$. Площадь каждого прямоугольного треугольника равна ${\displaystyle {1 \over 2}\cdot 3\cdot 8=12}$.

Следовательно, общая площадь всех четырёх частей равна ${\displaystyle 20+20+12+12=64}$, как и должно быть. Из этих четырёх частей общей площадью ${\displaystyle 64}$ никоим образом нельзя построить фигуру площадью ${\displaystyle 65}$. Между тем у нас получился прямоугольник со сторонами ${\displaystyle 13}$ и ${\displaystyle 5}$, площадь которого равна ${\displaystyle 65}$. Возникает вопрос: действительно ли является прямоугольником фигура, получившаяся у нас после перекладывания^[2]?

Трапеция ${\displaystyle ABCD}$ с основаниями ${\displaystyle AB=5}$ и ${\displaystyle CD=3}$ и высотой ${\displaystyle AD=5}$ имеет при вершинах ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle D}$ прямые углы. Прикладывая к ней треугольник ${\displaystyle CDE}$ с прямым углом при вершине ${\displaystyle D}$ и катетами ${\displaystyle CD=3}$ и ${\displaystyle DE=8}$, получим новую фигуру, ограниченную снизу прямолинейным отрезком ${\displaystyle AE}$, так как два прямых угла ${\displaystyle ADC}$ и ${\displaystyle CDE}$ дают в сумме развёрнутый угол. Лежат ли на одной прямой стороны ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle CE}$? Хотя визуально кажется, что стороны принадлежат одной прямой, но тщательно выполненный чертёж показывает, что в действительности линия ${\displaystyle BCE}$ — ломаная, а не прямая. Допустим, что ${\displaystyle BCE}$ — прямая линия. Тогда треугольники ${\displaystyle ABE}$ и ${\displaystyle CDE}$ подобны по двум сторонам и углу между ними. Отношение катетов ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle DC}$, лежащих против общего угла ${\displaystyle E}$, равно ${\displaystyle 5:3\thickapprox 1,6(6)}$, а отношение катетов ${\displaystyle AE}$ и ${\displaystyle DE}$ равно ${\displaystyle 13:8=1,625}$. Это противоречит допущению о подобии треугольников и о прямолинейности ${\displaystyle BCE}$. Таким образом, фигура, полученная после перекладывания, не прямоугольник. Она превращается в прямоугольник лишь после добавления к ней длинного и узкого параллелограмма, хорошо видного на чертеже и имеющего площадь, равную ${\displaystyle 1}$ клетке. Итак, в настоящем недоразумении виноват наш глаз, не замечающий небольшой разницы в направлениях отрезков ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle CE}$^[3]. Утверждая, что из частей квадрата может быть сложен прямоугольник, мы доверяемся кажущейся наглядности или грубо произведённому опыту (если занимались вырезыванием из бумаги)^[4].

Подробный чертёж к задаче

Вот ещё один «фокус», который можно сделать с квадратом.

Возьмём квадрат со стороной ${\displaystyle 8}$ и, следовательно, площадью ${\displaystyle 8\cdot 8=64}$. Разрежем его на три части так, как показано на рисунке слева. Затем переложим эти части так, как показано на рисунке справа, составив из него прямоугольник ${\displaystyle 7}$ на ${\displaystyle 9}$, а следовательно, площадью ${\displaystyle 63}$. Куда делась одна клетка?

Исчезновение одной клетки

Дело в том, что маленький прямоугольный треугольник не будет равнобедренным. Один из его катетов равен ${\displaystyle 1}$, а другой — ${\displaystyle 8 \over 7}$. Длина основания прямоугольника равняется не ${\displaystyle 9}$, а ${\displaystyle 8+{8 \over 7}=9{1 \over 7}={64 \over 7}}$, а его площадь — ${\displaystyle 7\cdot {64 \over 7}=64}$ . Противоречия не получается.

Построим прямоугольник со сторонами ${\displaystyle 11}$ и ${\displaystyle 13}$. Рассечём его диагональю и сдвинем затем полученные треугольники по их общей гипотенузе в положение, показанное на рисунке справа. Эта последняя фигура по виду состоит из квадрата со сторонами ${\displaystyle 12}$, то есть площадью ${\displaystyle 12\cdot 12=144}$, и двух треугольников, каждый площадью ${\displaystyle 0,5}$ клетки. Следовательно, площадь всей фигуры справа равна ${\displaystyle 144+2\cdot 0,5=145}$ . Но как же это получилось, если площадь исходного прямоугольника равна только ${\displaystyle 11\cdot 13=143}$^[5]?

Сдвиг по диагонали даёт увеличение площади на две клетки

Как и в предыдущей задаче, образованные при сдвиге прямоугольные треугольники не являются равнобедренными. Один их катет равен ${\displaystyle 1}$, а другой — ${\displaystyle 11 \over 13}$ клетки. Соответственно, стороны прямоугольника равны ${\displaystyle 12}$ и ${\displaystyle 11{11 \over 13}}$, а его площадь равна ${\displaystyle 12\cdot 11{11 \over 13}=142{2 \over 13}}$. Площади маленьких треугольников равны ${\displaystyle {1 \over 2}\cdot 1\cdot {11 \over 13}={11 \over 26}}$. Таким образом, площадь фигуры равняется ${\displaystyle 142{2 \over 13}+2\cdot {11 \over 26}=143}$. Противоречия нет^[6].

В другой похожей головоломке большой квадрат составлен из четырёх одинаковых четырёхугольников и маленького квадрата. Если четырёхугольники развернуть, то они заполнят площадь, занимаемую маленьким квадратом, хотя площадь большого квадрата визуально не изменится. При следующем развороте маленький квадрат появится снова.

Маленький квадрат «исчезает» и «появляется» при повороте частей

Этот парадокс объясняется тем, что сторона (и площадь) нового большого квадрата немного отличается от стороны (и площади) того, который был в начале. Ошибка, замаскированная в условии, состоит в том, что центры вращения составляющих четырёхугольников находятся не там, где это представляется при взгляде на картинку (не в точках пересечения их диагоналей). Они находятся в вершинах квадрата, повёрнутого относительно первого квадрата, причём его стороны параллельны сторонам второго.

Можно заметить, что встречавшиеся в приведённых выше задачах длины сторон геометрических фигур — это числа ${\displaystyle 1,2,3,5,8,13}$, которые являются началом знаменитой последовательности чисел Фибоначчи. Эта последовательность задаётся рекуррентным соотношением ${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$ и парой начальных чисел ${\displaystyle F_{0}=1,F_{1}=1}$.

В 1680 году Д. Д. Кассини заметил такое соотношение: ${\displaystyle F_{n+1}\cdot F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}}$, названное в дальнейшем его именем. Расположение частей, на которые был разрезан квадрат, в виде прямоугольника иллюстрирует это свойство: при возведении в квадрат любого члена этого ряда получается произведение двух соседних членов ряда плюс или минус единица. В задаче о квадрате ${\displaystyle 64=65?}$ сторона квадрата равна ${\displaystyle 8}$, а площадь — ${\displaystyle 64}$. Восьмёрка в ряду Фибоначчи расположена между ${\displaystyle 5}$ и ${\displaystyle 13}$. Так как числа ${\displaystyle 5}$ и ${\displaystyle 13}$ становятся длинами сторон прямоугольника, то площадь его должна быть равной ${\displaystyle 65}$, что даёт прирост площади в одну единицу. Благодаря этому свойству ряда можно построить квадрат, стороной которого является любое число Фибоначчи, большее единицы, а затем разрезать его в соответствии с двумя предшествующими числами этого ряда.

Приняв за сторону квадрата какое-нибудь число из «первой» подпоследовательности расположенных через одно чисел Фибоначчи (${\displaystyle 3,8}$…) и составив из частей этого квадрата прямоугольник, получают вдоль его диагонали просвет и как следствие кажущийся прирост площади на одну единицу. Взяв же за сторону квадрата какое-нибудь число из «второй» подпоследовательности (${\displaystyle 2,5,13}$ …), получают вдоль диагонали прямоугольника перекрывание площадей и потерю одной квадратной единицы площади. Чем дальше продвигаться по ряду чисел Фибоначчи, тем менее заметными становятся перекрывания или просветы. И наоборот, чем ниже спускаться по ряду, тем они становятся более существенными. Можно построить парадокс даже на квадрате со стороной в две единицы. Но тогда в прямоугольнике получается столь очевидное перекрывание, и эффект парадокса полностью теряется^[7].