Затухающие электромагнитные колебания

В идеальном LC-контуре активное сопротивление отсутствует. Такая модель описывает незатухающие свободные колебания и задаёт собственную частоту, относительно которой анализируется реальный контур.

Уравнение свободных колебаний идеального контура имеет вид:

${\displaystyle L{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+{\frac {q}{C}}=0.}$

Первое слагаемое связано с самоиндукцией катушки, второе — с напряжением на конденсаторе. Уравнение выражает баланс напряжений в замкнутом контуре без внешнего источника и без активного сопротивления.

После деления на ${\displaystyle L}$ получается:

${\displaystyle {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}q=0,}$

где

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$

— собственная циклическая частота контура. Эта величина показывает, с какой угловой частотой происходили бы свободные колебания при отсутствии потерь. Увеличение индуктивности или ёмкости уменьшает собственную частоту.

Решение уравнения записывается как:

${\displaystyle q(t)=q_{m}\cos(\omega _{0}t+\alpha ),}$

где ${\displaystyle q_{m}}$ — амплитуда заряда, а ${\displaystyle \alpha }$ — начальная фаза. Амплитуда показывает максимальный заряд конденсатора, а фаза определяет состояние системы в начальный момент времени.

Период собственных колебаний равен:

${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {LC}}.}$

Это соотношение известно как формула Томсона. Оно показывает, что период не зависит от начального заряда, а определяется только параметрами контура^[9][5].

В идеальном контуре ток и заряд сдвинуты по фазе на ${\displaystyle \pi /2}$. Если

${\displaystyle q=q_{0}\cos \omega _{0}t,}$

то

${\displaystyle i={\frac {dq}{dt}}=-q_{0}\omega _{0}\sin \omega _{0}t.}$

Ток является производной заряда по времени, поэтому он максимален тогда, когда заряд проходит через нуль. Максимум заряда соответствует нулевому току. Это фазовое соотношение отражает периодический переход энергии между электрическим и магнитным полями^[9].

Реальный последовательный RLC-контур отличается от идеального наличием активного сопротивления. Это сопротивление учитывает как специально включённый резистор, так и внутренние потери катушки, проводников и конденсатора.

Свободные колебания в последовательном RLC-контуре без внешнего источника описываются вторым правилом Кирхгофа:

${\displaystyle L{\frac {dI}{dt}}+RI+{\frac {q}{C}}=0.}$

Первое слагаемое соответствует напряжению самоиндукции на катушке, второе — падению напряжения на активном сопротивлении, третье — напряжению на конденсаторе. Сумма этих напряжений равна нулю, так как внешняя ЭДС отсутствует.

С учётом связи между током и зарядом

${\displaystyle I={\frac {dq}{dt}}}$

получается уравнение для заряда:

${\displaystyle L{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+R{\frac {dq}{dt}}+{\frac {q}{C}}=0.}$

В этой форме видно, что индуктивность определяет инерционность изменения тока, сопротивление отвечает за потери, а ёмкость задаёт связь между зарядом и напряжением.

После деления на ${\displaystyle L}$:

${\displaystyle {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+{\frac {R}{L}}{\frac {dq}{dt}}+{\frac {1}{LC}}q=0.}$

С использованием обозначений

${\displaystyle \beta ={\frac {R}{2L}},}$

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}},}$

уравнение записывается в стандартной форме:

${\displaystyle {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+2\beta {\frac {dq}{dt}}+\omega _{0}^{2}q=0.}$

Коэффициент ${\displaystyle \beta }$ называется коэффициентом затухания. Он имеет размерность обратного времени и определяет скорость уменьшения амплитуды. Чем больше сопротивление ${\displaystyle R}$ и чем меньше индуктивность ${\displaystyle L}$, тем сильнее затухание.

Классификация режимов в RLC-контуре определяется видом решений линейного дифференциального уравнения. Для этого используется характеристическое уравнение, позволяющее определить, будет ли процесс колебательным или апериодическим.

Характеристическое уравнение для свободных колебаний имеет вид:

${\displaystyle s^{2}+2\beta s+\omega _{0}^{2}=0.}$

Переменная ${\displaystyle s}$ задаёт показатель экспоненты в решении. Если корни уравнения комплексные, решение содержит синусоидальную часть; если корни вещественные, процесс не является периодическим.

Корни равны:

${\displaystyle s_{1,2}=-\beta \pm {\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.}$

Характер процесса определяется знаком выражения под корнем. При ${\displaystyle \beta <\omega _{0}}$ корни комплексно-сопряжённые:

${\displaystyle s_{1,2}=-\beta \pm i\omega ,}$

где

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\beta ^{2}}}.}$

Действительная часть ${\displaystyle -\beta }$ определяет экспоненциальное убывание амплитуды, а мнимая часть ${\displaystyle \omega }$ — угловую частоту затухающих колебаний. Частота реального затухающего процесса меньше собственной частоты идеального LC-контура^[3][4].

В зависимости от соотношения между коэффициентом затухания и собственной частотой контур может вести себя как колебательная или неколебательная система. Это разделение соответствует общей теории линейных систем второго порядка.

При слабом затухании выполняется условие:

${\displaystyle \beta <\omega _{0}.}$

В этом случае сопротивление недостаточно велико, чтобы подавить периодический обмен энергией между конденсатором и катушкой. Заряд конденсатора изменяется по закону:

${\displaystyle q(t)=q_{0}e^{-\beta t}\cos(\omega t+\varphi _{0}),}$

где ${\displaystyle q_{0}}$ — начальная амплитуда, ${\displaystyle \varphi _{0}}$ — начальная фаза, а множитель ${\displaystyle e^{-\beta t}}$ задаёт спад амплитуды.

Частота затухающих колебаний равна:

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\beta ^{2}}}.}$

Затухание не только уменьшает амплитуду, но и немного снижает частоту по сравнению с идеальной частотой ${\displaystyle \omega _{0}}$.

Критическое затухание соответствует условию:

${\displaystyle \beta =\omega _{0}.}$

Это граничный режим между колебательным и апериодическим процессами. Критическое сопротивление последовательного контура равно:

${\displaystyle R_{\text{кр}}=2{\sqrt {\frac {L}{C}}}.}$

Формула получается из условия ${\displaystyle R/(2L)=1/{\sqrt {LC}}}$. Она показывает, что критическое сопротивление возрастает с увеличением индуктивности и уменьшается с увеличением ёмкости.

Апериодический режим возникает при условии:

${\displaystyle \beta >\omega _{0}.}$

В этом случае сопротивление настолько велико, что энергия не успевает переходить между электрической и магнитной формами периодически. Заряд изменяется как сумма двух убывающих экспонент:

${\displaystyle q(t)=Ae^{s_{1}t}+Be^{s_{2}t},}$

где

${\displaystyle s_{1,2}=-\beta \pm {\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.}$

Постоянные ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ определяются начальными условиями. Оба показателя ${\displaystyle s_{1}}$ и ${\displaystyle s_{2}}$ отрицательны, поэтому заряд стремится к нулю без колебательной смены знака^[10].

Напряжение и ток являются основными наблюдаемыми величинами в электрическом контуре. Их временная зависимость непосредственно связана с изменением заряда конденсатора.

Напряжение на конденсаторе связано с зарядом соотношением:

${\displaystyle U_{C}={\frac {q}{C}}.}$

При фиксированной ёмкости напряжение пропорционально заряду. Чем больше ёмкость, тем меньше напряжение при том же заряде.

При слабом затухании:

${\displaystyle U_{C}(t)=U_{0}e^{-\beta t}\cos(\omega t+\varphi _{0}).}$

Здесь ${\displaystyle U_{0}}$ — начальная амплитуда напряжения. Экспоненциальный множитель описывает уменьшение амплитуды, а косинус — периодическое изменение знака напряжения.

Ток определяется производной заряда:

${\displaystyle I(t)={\frac {dq}{dt}}.}$

Это соотношение отражает определение тока как скорости переноса заряда через поперечное сечение цепи.

Для

${\displaystyle q(t)=q_{0}e^{-\beta t}\cos(\omega t+\varphi _{0})}$

получается:

${\displaystyle I(t)=-q_{0}e^{-\beta t}\left[\beta \cos(\omega t+\varphi _{0})+\omega \sin(\omega t+\varphi _{0})\right].}$

Первое слагаемое в квадратных скобках связано с убыванием амплитуды, второе — с собственно колебательным изменением заряда. При слабом затухании ${\displaystyle \beta \ll \omega }$, поэтому основную роль играет синусоидальный член, а ток почти сдвинут по фазе относительно заряда на ${\displaystyle \pi /2}$.

При слабом затухании напряжение может быть записано в виде:

${\displaystyle U(t)=U_{0}e^{-\beta t}\cos(\omega t+\varphi _{0}).}$

Формула состоит из двух множителей: ${\displaystyle e^{-\beta t}}$ задаёт спад амплитуды, а ${\displaystyle \cos(\omega t+\varphi _{0})}$ описывает периодическое изменение напряжения.

Огибающие такой кривой задаются функциями:

${\displaystyle U_{+}(t)=U_{0}e^{-\beta t},}$

${\displaystyle U_{-}(t)=-U_{0}e^{-\beta t}.}$

Верхняя огибающая проходит через положительные максимумы сигнала, нижняя — через отрицательные. По осциллограмме можно определить период, амплитуды последовательных максимумов, коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания и добротность контура^[2].

Логарифмический декремент характеризует спад амплитуды не по времени непосредственно, а по числу совершённых колебаний. Эта величина удобна для обработки осциллограмм, поскольку сравниваются амплитуды максимумов.

Логарифмический декремент затухания определяется как натуральный логарифм отношения двух амплитуд, разделённых одним периодом:

${\displaystyle \lambda =\ln {\frac {A(t)}{A(t+T)}}.}$

Числитель и знаменатель относятся к двум последовательным максимумам одной и той же огибающей. Если затухание мало, отношение соседних амплитуд почти постоянно.

Для экспоненциального убывания амплитуды:

${\displaystyle A(t)=A_{0}e^{-\beta t}}$

получается:

${\displaystyle \lambda =\beta T.}$

Эта формула связывает временную характеристику затухания ${\displaystyle \beta }$ с характеристикой затухания за один период.

Если амплитуды разделены ${\displaystyle N}$ периодами, используется формула:

${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{N}}\ln {\frac {A(t)}{A(t+NT)}}.}$

Деление на ${\displaystyle N}$ даёт среднее значение декремента за один период и уменьшает относительную погрешность измерений.

Для последовательного RLC-контура при слабом затухании:

${\displaystyle \lambda \approx \pi R{\sqrt {\frac {C}{L}}}.}$

При фиксированных ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle C}$ логарифмический декремент в этом приближении пропорционален активному сопротивлению контура^[5].

Добротность характеризует относительную малость потерь в колебательной системе. Чем больше добротность, тем медленнее убывает амплитуда и тем уже резонансная кривая.

Добротность определяется как:

${\displaystyle Q=2\pi {\frac {W}{\Delta W}},}$

где ${\displaystyle W}$ — энергия, запасённая в системе, а ${\displaystyle \Delta W}$ — энергия, теряемая за один период. Множитель ${\displaystyle 2\pi }$ вводится так, чтобы для слабозатухающего гармонического осциллятора добротность была связана с фазовым циклом колебаний.

При слабом затухании:

${\displaystyle Q\approx {\frac {\pi }{\lambda }}.}$

Малый логарифмический декремент соответствует большой добротности.

Также:

${\displaystyle Q\approx {\frac {\omega _{0}}{2\beta }}.}$

Эта запись связывает добротность с собственной частотой и коэффициентом затухания. При фиксированной частоте уменьшение ${\displaystyle \beta }$ увеличивает добротность.

Для последовательного RLC-контура:

${\displaystyle Q={\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}.}$

Добротность уменьшается при росте активного сопротивления и возрастает при увеличении отношения ${\displaystyle L/C}$.

В частотной области добротность связана с шириной резонансной кривой:

${\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}}{\Delta \omega }},}$

где ${\displaystyle \Delta \omega }$ — полоса пропускания на уровне половинной мощности. Узкая резонансная кривая соответствует большой добротности^[11][12].

В радиотехнике колебательные контуры применяются для выделения сигналов заданной частоты. Высокая добротность соответствует узкой резонансной кривой и высокой частотной избирательности^[5].

В радиоприёмниках контур настройки выбирает несущую частоту принимаемой станции. При изменении ёмкости переменного конденсатора или индуктивности катушки изменяется собственная частота контура:

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}.}$

Эта формула показывает, что настройка может осуществляться изменением либо ${\displaystyle C}$, либо ${\displaystyle L}$. При совпадении собственной частоты контура с частотой принимаемого сигнала возникает резонанс, позволяющий выделить нужный сигнал из совокупности электромагнитных волн, поступающих на антенну^[13].

RLC-цепи используются как полосовые, режекторные, низкочастотные и высокочастотные фильтры. Затухание определяет форму амплитудно-частотной характеристики, крутизну склонов и ширину полосы пропускания. Чем выше добротность, тем уже полоса пропускания резонансного фильтра.

В импульсной электронике затухающие колебания возникают после быстрого переключения ключей, транзисторов и других коммутационных элементов. Причиной часто являются паразитные индуктивности и ёмкости. Такой процесс проявляется как колебательный выброс напряжения или тока, часто называемый «звоном» цепи.

Для подавления паразитных колебаний применяются демпфирующие резисторы, RC-цепочки, RCD-цепи, снабберы, согласование импедансов и уменьшение паразитных контуров на печатной плате^[10].

В силовой электронике затухающие колебания возникают при коммутации больших токов и напряжений. Они могут быть связаны с трансформаторами, электродвигателями, дросселями, длинными кабелями, силовыми полупроводниковыми приборами и конденсаторными батареями. Переходные колебания могут вызывать перенапряжения, пробой изоляции, повреждение силовых ключей и рост электромагнитных помех.

В измерительной технике затухающие электромагнитные колебания используются для определения параметров контуров и резонаторов. По осциллограмме свободного процесса определяют период, логарифмический декремент, коэффициент затухания и добротность. По резонансной кривой определяют резонансную частоту и полосу пропускания.

Такие методы применяются при исследовании колебательных контуров, фильтров, резонаторов, высокочастотных цепей и учебных лабораторных установок.

В задачах электромагнитной совместимости затухающие колебания рассматриваются как источник помех. Быстрые изменения токов и напряжений могут возбуждать паразитные резонансы в проводниках, корпусах, кабелях и печатных платах.

Для уменьшения помех применяются демпфирование, экранирование, фильтрация питания, ферритовые элементы, согласование линий передачи и оптимизация разводки печатной платы.

Понятие затухания применяется к электрическим RLC-контурам, электромагнитным резонаторам, кварцевым резонаторам, микрополосковым структурам, оптическим резонаторам и СВЧ-резонаторам. Добротность резонатора характеризует отношение запасённой энергии к энергии, теряемой за период.

В генераторах электрических колебаний потери в контуре компенсируются энергией, поступающей от активного элемента. При недостаточной компенсации колебания затухают; при избыточной компенсации амплитуда ограничивается нелинейными свойствами схемы.