Замыкание отношения

Замыканием отношения $R$ относительно свойства $P$ называется такое множество $R^{*}$ , что:

$R\subset R^{*}$ .
$R^{*}$ обладает свойством $P$ .
$R^{*}$ является подмножеством любого другого отношения, содержащего $R$ и обладающего свойством $P$ .

Другими словами, $R^{*}$ — минимальное надмножество $R$ , выдерживающее $P$ .

Пусть на множестве $A=\{1,2,3,4\}$ $A=\{1,2,3,4\}$ задано отношение $R=\{(1,2),(3,4),(4,2)\}$ $R=\{(1,2),(3,4),(4,2)\}$ .
- Видно, что отношение $R$ не симметрично, не рефлексивно и не транзитивно.
- Замыканием $R$ относительно свойства симметричности (симметричным замыканием отношения $R$ ) является $R^{*}=\{(1,2),(3,4),(4,2);(2,1),(4,3),(2,4)\}$ .
- Замыканием $R$ относительно рефлексивности (рефлексивным замыканием отношения $R$ ) является $R^{*}=\{(1,2),(3,4),(4,2);(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}$ .
- Замыканием $R$ относительно транзитивности (транзитивным замыканием отношения $R$ ) является множество $R^{*}=\{(1,2),(3,4),(4,2);(3,2)\}$ .

Пример