Рефлексивное замыкание

Рефлекси́вное замыка́ние бинарного отношения ${\displaystyle R}$ на множестве ${\displaystyle X}$ — наименьшее рефлексивное отношение ${\displaystyle R^{=}}$ на ${\displaystyle X}$, содержащее отношение ${\displaystyle R}$. Другими словами, рефлексивное замыкание ${\displaystyle R^{=}}$ отношения ${\displaystyle R}$ — это его замыкание по свойству рефлексивности. В соответствии с общим определением, оно однозначно определяется условиями:

• ${\displaystyle R\subset R^{=}}$;
• ${\displaystyle R^{=}}$ рефлексивно;
• если бинарное отношение ${\displaystyle R'}$ на ${\displaystyle X}$ рефлексивно и ${\displaystyle R\subset R'}$, то ${\displaystyle R^{=}\subset R'}$.

Бинарное отношение рефлексивно тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим рефлексивным замыканием.

Рефлексивное замыкание задаётся простой теоретико-множественной формулой:

${\displaystyle R^{=}=R\cup \Delta _{X},}$

где ${\displaystyle \Delta _{X}=\{(x,x):x\in X\}}$ — отношение равенства (диагональное отношение) на ${\displaystyle X}$. Другими словами,

${\displaystyle xR^{=}y}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle xRy}$ или ${\displaystyle x=y}$.

Пример: отношение нестрогого порядка ${\displaystyle \leqslant }$ является рефлексивным замыканием отношения строгого порядка ${\displaystyle <}$ на множестве вещественных чисел.

Для нахождения рефлексивного замыкания бинарного отношения ${\displaystyle R}$ на множестве ${\displaystyle X}$ нужно добавить к ${\displaystyle R}$ все пары вида ${\displaystyle (x,x)}$, которых нет в ${\displaystyle R}$. Например, если ${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$ и ${\displaystyle R=\{(1,2),(2,2),(2,3)\}}$ то ${\displaystyle R^{=}=\{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)\}}$.

Если отношение симметрично, то и его рефлексивное замыкание симметрично; если отношение транзитивно, то и его рефлексивное замыкание транзитивно. Рефлексивное замыкание также может обозначаться через ${\displaystyle R^{r},R_{r},r(R)}$ и т. п.