Симметричное замыкание

Симметри́чное замыка́ние бинарного отношения ${\displaystyle R}$ на множестве ${\displaystyle X}$ — наименьшее симметричное отношение ${\displaystyle R^{\leftrightarrow }}$ на ${\displaystyle X}$, содержащее отношение ${\displaystyle R}$. Другими словами, симметричное замыкание ${\displaystyle R^{\leftrightarrow }}$ отношения ${\displaystyle R}$ — это его замыкание по свойству симметричности. В соответствии с общим определением, оно однозначно определяется условиями:

• ${\displaystyle R\subset R^{\leftrightarrow }}$;
• ${\displaystyle R^{\leftrightarrow }}$ симметрично;
• если бинарное отношение ${\displaystyle R'}$ на ${\displaystyle X}$ симметрично и ${\displaystyle R\subset R'}$, то ${\displaystyle R^{\leftrightarrow }\subset R'}$.

Бинарное отношение симметрично тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим симметричным замыканием.

Симметричное замыкание задаётся формулой

${\displaystyle R^{\leftrightarrow }=R\cup R^{-1},}$

где ${\displaystyle R^{-1}=\{(x,y):(y,x)\in R\}}$ — отношение, обратное отношению ${\displaystyle R}$. Другими словами,

${\displaystyle xR^{\leftrightarrow }y}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle xRy}$ или ${\displaystyle yRx}$.

Для нахождения симметричного замыкания бинарного отношения ${\displaystyle R}$ на множестве ${\displaystyle X}$ нужно добавить к ${\displaystyle R}$ все отсутствующие в нём пары ${\displaystyle (y,x)}$, для которых пара ${\displaystyle (x,y)}$ принадлежит ${\displaystyle R}$. Например, если ${\displaystyle X=\{1,2,3,4\}}$ и ${\displaystyle R=\{(1,2),(2,2),(2,3),(3,2),(3,4)\}}$ то

${\displaystyle R^{\leftrightarrow }=\{(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)\}}$.

Симметричное замыкание также может обозначаться через ${\displaystyle R^{s},R_{s},R^{\mathrm {sym} },s(R)}$ и т. п. Изредка симметричное замыкание отношения называют симметризацией этого отношения.