Отрезок

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle BA}$ представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным, или вектором. Например, направленные отрезки ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle BA}$ не совпадают. Отдельного обозначения для направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление, обычно указывается особо.

Это приводит к понятию свободного вектора — класса всех возможных векторов, отличающихся друг от друга только параллельным переносом, которые принимаются равными.

Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой ${\displaystyle \{[a,b]|a,b\in \mathbb {R} \land a<b\}}$.

Система сегментов обозначается ${\displaystyle \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }}$. Подразумевается, что каждому натуральному числу ${\displaystyle n}$ поставлен в соответствие отрезок ${\displaystyle [a_{n},b_{n}]}$.

Система сегментов ${\displaystyle \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }}$ называется стягивающейся, если^[2]:

• каждый следующий отрезок содержится в предыдущем:

  ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon [a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_{n},b_{n}]}$;

• соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала:

  ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=0}$.

У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы:

${\displaystyle \forall \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }~\exists !c\in \mathbb {R} ~\forall n\in N\colon c\in [a_{n},b_{n}],}$ где ${\displaystyle \forall }$ — квантор всеобщности.

Этот факт следует из свойств монотонной ограниченной последовательности^[3].