Внутренность

Вну́тренность множества — понятие в общей топологии, обозначающее объединение всех открытых подмножеств данного множества. Точки внутренности называются внутренними точками.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $(X,{\mathcal {T}}),$ где $X$ — произвольное множество, а ${\mathcal {T}}$ — определённая на нём топология. Пусть также дано подмножество $A\subset X$ .

Ниже рассматривается открытость подмножеств $B\subset A$ как подмножеств всего $X$ (например, $A$ обязательно открыто как подмножество себя, но не обязательно открыто во всём топологическом пространстве), при этом $X$ явно не указывается, а открытость в нём обозначается как принадлежность ${\mathcal {T}}$ .

Тогда внутренность множества $A$ можно определить несколькими эквивалентными способами:

Внутренность — объединение всех открытых подмножеств $B\subset A$ :
$\operatorname {int} (A)=\bigcup \limits _{B\in {\mathcal {T}},\;B\subset A}B$ .
Внутренность — наибольшее по включению открытое подмножество $A$ :
$(\operatorname {int} (A)\in {\mathcal {T}})\wedge (\operatorname {int} (A)\subset A)\quad \wedge \quad \forall B\;((B\in {\mathcal {T}})\wedge (B\subset A)\Rightarrow (B\subset \operatorname {int} (A)))$ .

Точка

x

— внутренняя, а точка

y

— не внутренняя (в данном случае — граничная)

Внутренность — множество всех внутренних точек, где точка $x\in A$ называется внутренней тогда и только тогда, когда существует открытое множество $B\subset A$ , такое что $x\in B$ :
$\operatorname {int} (A)=\left\{x\in A:\exists B\subset A,x\in B,B\in {\mathcal {T}}\right\}$ .

Эквивалентность определений следует из того факта, что объединение любого семейства открытых множеств открыто.

Свойства

Операция внутренности является унарной операцией на семействе всех подмножеств $X$ .
Внутренность $\operatorname {int} (A)$ — открытое множество.
Множество $A$ $A$ открыто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренностью:
$(A\in {\mathcal {T}})\Leftrightarrow \left(A=A^{0}\right)$ .
- Иначе говоря, в открытом множестве все точки внутренние, а любое множество, все точки которого внутренние, является открытым.
Операция внутренности идемпотентна:
$\operatorname {int} (\operatorname {int} (A))=\operatorname {int} (A)$ .
Операция внутренности сохраняет частичный порядок подмножеств по включению:
$(A\subset B)\Rightarrow \left(\operatorname {int} (A)\subset \operatorname {int} (B)\right)$ .
В метрическом пространстве определение внутренней точки принимает следующий вид. Пусть $X$ — метрическое пространство с метрикой $d$ , и $M$ — его подмножество. Точка $x\in M$ является внутренней для $M$ тогда и только тогда, когда существует $\varepsilon >0$ , такое что $\forall y\in X,\,d(x,y)<\varepsilon \Rightarrow y\in M$ . Иначе говоря, $x$ входит в $M$ вместе с шаром радиуса $\varepsilon$ с центром в $x$ .

Примеры

$\operatorname {int} (\emptyset )=\emptyset .$
Если $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ — конечное подмножество евклидова пространства со стандартной топологией, то $\operatorname {int} (A)=\emptyset$ .
Если $X=\mathbb {R}$ — вещественная прямая со стандартной топологией, и $[a,b]\subset \mathbb {R}$ , то $\operatorname {int} ([a,b])=(a,b).$
Если $X$ — дискретное пространство, то для любого $A\subset X$ имеем $\operatorname {int} (A)=A$ .