Группа кватернионов

Группа Q₈ имеет тот же порядок, что и диэдрическая группа Примеры групп#Симметрическая группа квадрата, но имеет другую структуру, что можно видеть на графах Кэли и диаграммах циклов:

Граф Кэли		Граф циклов
Q8 Красные стрелки обозначают умножение справа на i, а зелёные — умножение справа на j.	D4 Диэдрическая группа	Q8	Dih4

Диэдрическая группа D₄ получается из сплит-кватернионов таким же образом, что и Q₈ из кватернионов.

Таблица Кэли (таблица умножения) для Q^[1]:

Умножение шести мнимых единиц {±i, ±j, ±k} действует как векторное произведение единичных векторов в трёхмерном евклидовом пространстве.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}ij&=k,&ji&=-k,\\jk&=i,&kj&=-i,\\ki&=j,&ik&=-j.\end{alignedat}}}$

Группа кватернионов имеет необычное свойство гамильтоновости — любая подгруппа группы Q является нормальной подгруппой, и при этом сама группа не является абелевой.^[2] Любая гамильтонова группа содержит копию группы Q.^[3]

Можно построить четырёхмерное векторное пространство с базисом {1, i, j, k} и превратить его в ассоциативную алгебру с использованием приведённой выше таблицы умножения базисных векторов и продолжив операцию умножения по дистрибутивности. Полученная алгебра будет телом кватернионов. Заметим, что это не то же самое, что и групповая алгебра Q (которая имеет размерность 8). Обратно, можно начать с кватернионов и определить группу кватернионов как мультипликативную подгруппу, состоящую из восьми элементов {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}. Комплексное четырёхмерное векторное пространство с тем же базисом называется алгеброй бикватернионов.

Заметим, что i, j и k имеют порядок 4 в Q и любые два из них порождают всю группу. Другое задание группы Q^[4], показывающее это:

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .}$

Можно, например, взять i = x, j = y и k = xy.

Центром и коммутантом группы Q является подгруппа {±1}. Факторгруппа Q/{±1} изоморфна четверной группе Клейна V. Группа внутренних автоморфизмов группы Q изоморфна факторгруппе Q по центру, и потому также изоморфна четверной группе Клейна. Полная группа автоморфизмов группы Q изоморфна S₄, симметрической группе четырёх букв. Группой внешних автоморфизмов группы Q является S₄/V, которая изоморфна S₃.

Группа кватернионов может быть представлена как подгруппа полной линейной группы GL₂(C). Представление

${\displaystyle Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\to \mathrm {GL} _{2}(\mathbf {C} )}$

определяется матрицами^[5]

${\displaystyle 1\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle k\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}}$

Поскольку все из приведённых выше матриц имеют единичные определители, они задают представление группы Q в специальной линейной группе SL₂(C).

Существует также важное действие группы Q на восьми ненулевых элементах двумерного векторного пространства над конечным полем F₃. Представление

${\displaystyle Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\to \mathrm {GL} (2,3)}$

определяется матрицами

${\displaystyle 1\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle i\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle j\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle k\mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$

где {−1,0,1} — три элемента поля F₃. Поскольку определитель всех матриц над полем F₃ равен единице, это является представлением группы Q в специальной линейной группе SL(2, 3). Более того, группа SL(2, 3) имеет порядок 24, а Q является нормальной подгруппой группы SL(2, 3) с индекса 3.

Как показал Ричард Дин (Richard Dean) в 1981 году, группа кватернионов может быть задана как группа Галуа Gal(T/Q), где Q является полем рациональных чисел, а T является полем разложения многочлена

${\displaystyle x^{8}-72x^{6}+180x^{4}-144x^{2}+36}$

над Q.

Доказательство использует основную теорему теории Галуа, а также две теоремы о циклических расширениях степени 4.^[6]

Группа называется обобщённой группой кватернионов (или дициклической группой), если она имеет задание ^[4]

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .}$

для некоторого целого n ≥ 2. Эта группа обозначается как Q_4n и имеет порядок 4n.^[7] Коксетер обозначил эти дициклические группы как <2,2,n>, рассматривая их как частный случай бинарной полиэдральной группы <l,m,n>, связанной с полиэдральными группами (p,q,r) и диэдральной группой (2,2,n). Обычная кватернионная группа соответствует случаю n = 2. Обобщённая кватернионная группа изоморфна подгруппе группы GL₂(C), порождённой элементами

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}\omega _{n}&0\\0&{\overline {\omega }}_{n}\end{array}}\right)}$ и ${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)}$

где ω_n = e^iπ/n[4]. Она также изоморфна группе, порождённой ^[8] кватернионами x = e^iπ/n и y = j.

Теорема Брауэра — Сузуки утверждает, что группы, для которых силовские 2-подгруппы являются обобщёнными кватернионами, не могут быть простыми.

• Weisstein, Eric W. Quaternion group (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.