Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа

Целочисленные решения диофантовых уравнений, например, целочисленные решения уравнения ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$, связанного с теоремой Пифагора, изучались на протяжении многих столетий. Великая теорема Ферма утверждает, что для целых степеней ${\displaystyle k>2}$ уравнение ${\displaystyle a^{k}+b^{k}=c^{k}}$ не имеет решения в натуральных числах ${\displaystyle a,b,c}$.

В 1769 году Леонард Эйлер, увеличив число слагаемых в уравнении, выдвинул гипотезу, которая в обобщённой форме сводится к тому, что уравнение

${\displaystyle {\begin{matrix}a^{3}+b^{3}=c^{3}\\a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}\\a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}=e^{5}\\\dots \\\sum \limits _{k=1}^{n-1}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}\end{matrix}}}$

не имеют решения в натуральных числах.

В 1966 году Леон Дж. Ландер (англ. Leon. J. Lander) и Томас Р. Паркин (англ. Thomas. R. Parkin) нашли для ${\displaystyle k=5}$ контрпример, опровергающий гипотезу Эйлера^[1]:

${\displaystyle 27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}.}$

Для ${\displaystyle k=4}$ первым контрпример нашёл Ноам Элкис в 1988 году.^[2] Наименьшее решение, найденное в том же году (Roger Frye, 1988) таково:

${\displaystyle 414560^{4}+217519^{4}+95800^{4}=422481^{4},}$

Однако для ${\displaystyle k=6}$ гипотеза Эйлера остаётся открытой.

В 1967 году Ландер, Паркин и Джон Селфридж^[en] предположили^[3], что уравнение

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}x_{i}^{k}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{k}}$

может иметь нетривиальное решение в натуральных числах, только если ${\displaystyle k\leq m+n}$.

Из великой теоремы Ферма вытекает справедливость гипотезы для случая ${\displaystyle (k,2,1),k>3}$ и отсутствие решений для ${\displaystyle (3,2,1)}$.

Поиск решений уравнений ${\displaystyle (k,m,n)}$ для некоторых степеней оказывается трудной задачей не только для ${\displaystyle k=m+n}$, но и для ${\displaystyle k<m+n}$. Поиском решений для различных ${\displaystyle (k,m,n)}$ занимаются проекты распределенных вычислений EulerNet^[4] и yoyo@home.

По состоянию на 2006 год известны следующие решения для (k, m, n) при k = m + n:^[5]

${\displaystyle 158^{4}+59^{4}=134^{4}+133^{4}}$, бесконечно много решений.

${\displaystyle 422481^{4}=414560^{4}+217519^{4}+95800^{4}}$, бесконечно много решений.

${\displaystyle 144^{5}=133^{5}+110^{5}+84^{5}+27^{5}}$, известно 2 решения.

${\displaystyle 14132^{5}+220^{5}=14068^{5}+6237^{5}+5027}$, известно 1 решение.

${\displaystyle 23^{6}+15^{6}+10^{6}=22^{6}+19^{6}+3^{6}}$, бесконечно много решений.

${\displaystyle 966^{8}+539^{8}+81^{8}=954^{8}+725^{8}+481^{8}+310^{8}+158^{8}}$, известно 1 решение.

${\displaystyle 3113^{8}+2012^{8}+1953^{8}+861^{8}=2823^{8}+2767^{8}+2557^{8}+1128^{8}}$, известно 1 решение.

${\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}}$ .

${\displaystyle 30^{4}+120^{4}+272^{4}+315^{4}=353^{4}}$ (R. Norrie, 1911)^[3]

${\displaystyle 19^{5}+43^{5}+46^{5}+47^{5}+67^{5}=72^{5}}$ (Lander, Parkin, Selfridge, smallest, 1967)^[3]

Решения неизвестны.

${\displaystyle 127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}=568^{7}}$ (M. Dodrill, 1999)

${\displaystyle 90^{8}+223^{8}+478^{8}+524^{8}+748^{8}+1088^{8}+1190^{8}+1324^{8}=1409^{8}}$ (Scott Chase, 2000)

Решения неизвестны.