Вырожденная гипергеометрическая функция

Термин вырожденная (функция) или конфлюэнтная (confluere лат. — «течь вместе») подразумевает слияние особых точек семейств дифференциальных уравнений, таких уравнений, в котором две из трёх регулярных особенностей сливаются в нерегулярную особенность.

Существует несколько общих стандартных форм вырожденных гипергеометрических функций:

• Функция Куммера (вырожденная гипергеометрическая) M ( a , b , z ), введённая Куммером  ( 1837 ), является решением дифференциального уравнения Куммера. Она также известна как вырожденная гипергеометрическая функция первого рода.
• Функция Трикоми (вырожденная гипергеометрическая) U ( a , b , z ), введённая Франческо Трикоми  ( 1947 ), иногда обозначаемая как Ψ( a; b; z ), является еще одним решением уравнения Куммера. Она также известна как вырожденная гипергеометрическая функция второго рода.
• Функции Уиттекера (для Эдмунда Тейлора Уиттекера ) являются решениями уравнения Уиттекера .
• Кулоновские волновые функции являются решениями волнового уравнения Кулона .

Функции Куммера, функции Уиттекера и волновые функции Кулона по сути одинаковы и отличаются друг от друга только элементарными функциями и заменой переменных.

Уравнение Куммера записывают так:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0,}$

с регулярной особой точкой при z = 0 и нерегулярной особой точкой при z = ∞. Обычно имеет два линейно независимых решения M(a, b, z) и U(a, b, z).

Функция Куммера первого рода M представляет собой обобщённый гипергеометрический ряд, задаваемый формулой^[1]:

${\displaystyle M(a,b,z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}z^{n}}{b^{(n)}n!}}={}_{1}F_{1}(a;b;z),}$

где:

${\displaystyle a^{(0)}=1,}$

${\displaystyle a^{(n)}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)\,,}$

является возрастающим факториалом. Другое распространённое обозначение для этого решения — Φ(a, b, z). Рассматривая его как функцию от a, b или z с двумя другими постоянными, получают целую функцию от a или z, кроме случаев, когда b = 0, −1, −2, ... Как функция от b она является аналитической, за исключением полюсов в неположительных целых числах.

Некоторые значения a и b дают решения, которые можно выразить через другие известные функции. См.#Особые случаи. Когда a — неположительное целое число, то функция Куммера (если она определена) является обобщённым полиномом Лагерра .

Так же, как вырожденное дифференциальное уравнение является пределом гипергеометрического дифференциального уравнения, вырожденная гипергеометрическая функция может быть задана как предел гипергеометрической функции:

${\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;z/b)}$

и многие свойства конфлюэнтной гипергеометрической функции являются предельными случаями свойств гипергеометрической функции.

Если Re b > Re a > 0, то M(a, b, z) можно представить в виде иинтеграла:

${\displaystyle M(a,b,z)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b-a)}}\int _{0}^{1}e^{zu}u^{a-1}(1-u)^{b-a-1}\,du.}$

тогда M(a, a+b, it) является характеристической функцией бета-распределения. Для a с положительной действительной частью U можно получить с помощью интеграла Лапласа:

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt,\quad (\operatorname {Re} \ a>0)}$

Интеграл определяет решение в правой полуплоскости Re z > 0.

Также можно представить как интегралы Барнса:

${\displaystyle M(a,b,z)={\frac {1}{2\pi i}}{\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (-s)\Gamma (a+s)}{\Gamma (b+s)}}(-z)^{s}ds}$

где контур проходит по одну сторону полюсов Γ(−s) и по другую сторону полюсов Γ(a + s).

Если решение уравнения Куммера асимптотически стремится к степени z при z → ∞, то степень должна быть −a. Этот случай является решением Трикоми U(a, b, z). Такое асимптотическое поведение при z → ∞ можно вывести из интегральных представлений. Если z = x ∈ R, то замена переменных в интеграле с последующим расширением биномиального ряда и его формальным интегрированием почленно приводит к асимптотическому расширению ряда, действительному при x → ∞^[3]:

${\displaystyle U(a,b,x)\sim x^{-a}\,_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;\,;-{\frac {1}{x}}\right),}$

где ${\displaystyle _{2}F_{0}\left(a,a-b+1;\,;-{\frac {1}{x}}\right)}$ — обобщённый гипергеометрический ряд с единицей в качестве ведущего члена, который, как правило, нигде не сходится, но существует как формальный степенной ряд 1/x. Это асимптотическое разложение справедливо и для комплексного z вместо действительного x, с ${\displaystyle \mid \arg z\mid <3\pi /2}$.

Асимптотическое поведение решения Куммера при больших ${\displaystyle \left\vert z\right\vert }$ имеет вид:

${\displaystyle M(a,b,z)\sim \Gamma (b)\left({\frac {e^{z}z^{a-b}}{\Gamma (a)}}+{\frac {(-z)^{-a}}{\Gamma (b-a)}}\right)}$

Степени z находятся в промежутке −3π/2 < arg z ≤ π/2^[4].  Первый член не нужен, когда Γ(b − a) — конечно, то есть когда b − a не является неположительным целым числом, а действительная часть z → −∞. Второй член не нужен, когда Γ(a) — конечно, то есть когда a не является неположительным целым числом, а действительная часть z → +∞.

Всегда существует некоторое асимптотическое решение уравнения Куммера e^zz^a−b, при z → −∞. Обычно это комбинация M(a, b, z) и U(a, b, z), но также может быть выражено как e^z (−1)^a-b U(b − a, b, −z).

Существует множество соотношений между функциями Куммера для различных аргументов и их производными. Ниже даны некоторые примеры.

Функции, которые можно выразить как частные случаи конфлюэнтной гипергеометрической функции, включают в себя:

• Некоторые элементарные функции, где левая часть не определена, когда b — неположительное целое число, но правая часть всё ещё является решением соответствующего уравнения Куммера:

${\displaystyle M(0,b,z)=1}$

${\displaystyle U(0,c,z)=1}$

${\displaystyle M(b,b,z)=e^{z}}$

${\displaystyle U(a,a,z)=e^{z}\int _{z}^{\infty }u^{-a}e^{-u}du}$ (многочлен, если a — неположительное целое число)

${\displaystyle {\frac {U(1,b,z)}{\Gamma (b-1)}}+{\frac {M(1,b,z)}{\Gamma (b)}}=z^{1-b}e^{z}}$

${\displaystyle M(n,b,z)}$ для неположительного целого числа n обобщённый полином Лагерра

${\displaystyle U(n,c,z)}$ для неположительного целого числа n является кратным обобщённому полиному Лагерра, равному
${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (1-c)}{\Gamma (n+1-c)}}M(n,c,z)}$, если он существует.

${\displaystyle U(c-n,c,z)}$ когда n — положительное целое число, это замкнутая форма со степенями z, равная ${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (c-1)}{\Gamma (c-n)}}z^{1-c}M(1-n,2-c,z)}$, если он существует.

${\displaystyle U(a,a+1,z)=z^{-a}}$

${\displaystyle U(-n,-2n,z)}$ для неотрицательного целого числа n — многочлен Бесселя (см. ниже).

${\displaystyle M(1,2,z)=(e^{z}-1)/z,\ \ M(1,3,z)=2!(e^{z}-1-z)/z^{2}}$ и т.д.

Используя смежное отношение ${\displaystyle aM(a+)=(a+z)M+z(a-b)M(b+)/b}$ получают: ${\displaystyle M(2,1,z)=(1+z)e^{z}.}$

• Функция Бейтмана
• Функции Бесселя. Например, в случае b = 2a:

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,2a,x)=e^{x/2}\,{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)=e^{x/2}\left({\tfrac {x}{4}}\right)^{1/2-a}\Gamma \left(a+{\tfrac {1}{2}}\right)I_{a-1/2}\left({\tfrac {x}{2}}\right).}$

Эту идентичность иногда также называют второй трансформацией Куммера. Аналогично

${\displaystyle U(a,2a,x)={\frac {e^{x/2}}{\sqrt {\pi }}}x^{1/2-a}K_{a-1/2}(x/2),}$ если a — неположительное целое число, то это равно 2^−aθ_−a(x/2), где θ — многочлен Бесселя.

• Родственные функции: функции Эйри, функции Кельвина , функции Ганкеля.
• Функция ошибок имеет вид:

${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}},-x^{2}\right).}$

• Кулоновская волновая функция

• Функции Каннингема
• Экспоненциальный интеграл и связанные с ним функции, такие как синусоидальный интеграл, логарифмический интеграл
• Многочлены Эрмита
• Неполная гамма-функция
• Многочлены Лаггера
• Функции параболического цилиндра
• Функция Пуассона-Шарлье
• Функции Уиттекера M_κ,μ(z), W_κ,μ(z) являются решениями уравнения Уиттекера, которые можно выразить через функции Куммера M и U следующим образом:

${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$

${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$

• Обобщённый p -й момент ( p не обязательно целое число) может быть выражен как:^[6]${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\left|N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)\right|^{p}\right]&={\frac {\left(2\sigma ^{2}\right)^{p/2}\Gamma \left({\tfrac {1+p}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\\operatorname {E} \left[N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)^{p}\right]&=\left(-2\sigma ^{2}\right)^{p/2}U\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Во второй формуле вторую ветвь функции можно убрать, умножив ее на (−1)^p.

Применяя предельный аргумент к непрерывной дроби Гаусса, можно показать, что^[7]:

${\displaystyle {\frac {M(a+1,b+1,z)}{M(a,b,z)}}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1-\ddots }}}}}}}}}}}$

и что эта непрерывная дробь равномерно сходится к мероморфной функции z в каждой ограниченной области, не содержащей полюса.