Волны Рэлея

Волны Рэлея распространяются вблизи поверхности твердого тела. Фазовая скорость таких волн направлена параллельно поверхности. Частицы среды в такой волне совершают эллиптическое движение в сагиттальной плоскости (в которой лежат вектор скорости и нормали к поверхности). Амплитуды колебаний затухают при удалении от поверхности по экспоненциальным законам и энергия волны сосредоточена в области на расстоянии порядка длины волны от поверхности^[2].

Уравнение движения бесконечно малого объёма однородной, изотропной и идеально упругой среды с плотностью ρ можно записать в виде:

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}{\textbf {U}}}{\partial t^{2}}}=\mu \Delta {\textbf {U}}+(\lambda +\mu )\,{\textrm {grad}}\,{\textrm {div}}{\textbf {U}},}$

(1)

где U — смещение бесконечного малого объёма относительно равновесного положения, λ и μ — упругие постоянные, Δ — оператор Лапласа. Для данного волнового уравнения решения ищутся в виде суперпозиции поперечных и продольных смещений U=U_t+U_l, где U_l=grad φ и U_t=rot ψ. φ и ψ — скалярный и векторный потенциалы. Уравнение (1) для новых неизвестных представляет собой волновые уравнения для независимых компонент смещений^[3]:

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}{\textbf {U}}_{l}}{\partial t^{2}}}-(\lambda +2\mu )\Delta {\textbf {U}}_{l}=0,}$

(2.1)

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}{\textbf {U}}_{t}}{\partial t^{2}}}-\mu \Delta {\textbf {U}}_{t}=0.}$

(2.2)

Если волна распространяется по оси x, то можно рассмотреть для изотропного случая только колебания в плоскости (x, z). Принимая во внимание независимость компонент от y для плоской гармонической волны, волновые уравнения для потенциалов примут вид:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}-k_{l}^{2}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=0,}$

(3.1)

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}-k_{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=0,}$

(3.2)

где ${\displaystyle k_{l}=\omega {\sqrt {\rho /(\lambda +2\mu )}},}$ ${\displaystyle k_{t}=\omega {\sqrt {\rho /\mu }},}$ — волновые числа для продольных и поперечных волн. Решения этих уравнений, если взять только затухающие решения представляются в виде плоских волн^[4]:

${\displaystyle \phi =A{\textrm {exp}}[-qz+i(kx-\omega t)],}$

(4.1)

${\displaystyle \psi =B{\textrm {exp}}[-sz+i(kx-\omega t)],}$

(4.2)

где ${\displaystyle q^{2}=k^{2}-k_{l}^{2}}$; ${\displaystyle s^{2}=k^{2}-k_{t}^{2}}$; ${\displaystyle k^{2}>k_{t}^{2}>k_{l}^{2}}$; A и B — произвольные постоянные. Эти решения представляют собой общее решение волнового уравнения для затухающей волны, а для нахождения частного решения нужно задать граничные условия на поверхности среды.

Компоненты смещения представляются в виде:

${\displaystyle U_{x}={\frac {\partial \phi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial z}},}$

(5.1)

${\displaystyle U_{z}={\frac {\partial \phi }{\partial z}}+{\frac {\partial \psi }{\partial x}}.}$

(5.1)

В случае свободной границы значение компонентов тензора напряжений принимают нулевые значение:

${\displaystyle T_{zz}=\lambda \left({\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}\right)+2\mu \left({\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x\partial z}}\right)=0,}$

(6.1)

${\displaystyle T_{xz}=\mu \left(2{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)=0.}$

(6.2)

После подставления решений (4) получится однородная система линейных уравнений относительно амплитуд A и B, которая имеет нетривиальное решение только если детерминант системы равен нулю (уравнение Рэлея), а именно^[5]:

${\displaystyle \eta ^{6}-8\eta ^{4}+8(3-2\xi ^{2})\eta ^{2}-16(1-\xi ^{2})=0,}$

(6)

где ${\displaystyle \eta =k_{t}/k}$, ${\displaystyle \xi =k_{l}/k_{t}}$. Это уравнение имеет единственный корень, относящийся к рэлеевской волне, который зависит только от коэффициента Пуассона ν:

${\displaystyle \eta _{R}={\frac {0,87+1,12\nu }{1+\nu }}.}$

(7)

Отсюда находятся компоненты смещений для рэлеевской волны^[6]:

${\displaystyle U_{x}=Ak_{R}\left({\textrm {exp}}(-q_{R}z)-{\frac {2q_{R}s_{R}}{k_{R}^{2}+s_{R}^{2}}}{\textrm {exp}}(-s_{R}z)\right){\textrm {exp}}\left[i\left(k_{R}x-\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)\right],}$

(8.1)

${\displaystyle U_{z}=Aq_{R}\left({\textrm {exp}}(-q_{R}z)-{\frac {2k_{R}^{2}}{k_{R}^{2}+s_{R}^{2}}}{\textrm {exp}}(-s_{R}z)\right){\textrm {exp}}\left[i\left(k_{R}x-\omega t\right)\right].}$

(8.2)

Волны рэлеевского типа (псевдорэлеевские волны) успешно применяются в инженерной сейсморазведке для изучения упругих параметров пород и грунтов находящихся за обделкой тоннелей^[7], железобетонными, бетонными плитами, каменной кладкой или дорожной одеждой^[8]. В случае увеличения скоростей с глубиной (как правило, при исследованиях с дневной поверхности) скорости поперечных волн в нижнем слое определяются по дисперсионным кривым псевдорэлеевских волн (см. рисунок). Этот способ широко используется практически и обоснован с точки зрения теории упругости.