Взвешенное усреднение по порядку

Оператор OWA размерности ${\displaystyle n}$ — это отображение ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ с набором весов ${\displaystyle W=[w_{1},\ldots ,w_{n}]}$, принадлежащих отрезку ${\displaystyle [0,1]}$ и суммирующихся в единицу, такое что

${\displaystyle F(a_{1},\ldots ,a_{n})=\sum _{j=1}^{n}w_{j}b_{j}}$,

где ${\displaystyle b_{j}}$ — ${\displaystyle j}$-й по величине элемент из ${\displaystyle a_{i}}$.

Выбирая различные наборы весов ${\displaystyle W}$, можно реализовать различные агрегирующие операторы. Оператор OWA является нелинейным из-за процесса упорядочивания ${\displaystyle b_{j}}$.

${\displaystyle F(a_{1},\ldots ,a_{n})=\max(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ при ${\displaystyle w_{1}=1}$ и ${\displaystyle w_{j}=0}$ для ${\displaystyle j\neq 1}$

${\displaystyle F(a_{1},\ldots ,a_{n})=\min(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ при ${\displaystyle w_{n}=1}$ и ${\displaystyle w_{j}=0}$ для ${\displaystyle j\neq n}$

${\displaystyle F(a_{1},\ldots ,a_{n})=\mathrm {average} (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ при ${\displaystyle w_{j}={\frac {1}{n}}}$ для всех ${\displaystyle j\in [1,n]}$

Оператор OWA является средним. Он обладает следующими свойствами: ограниченность, монотонность, симметрия и идемпотентность.

Ограниченность	${\displaystyle \min(a_{1},\ldots ,a_{n})\leq F(a_{1},\ldots ,a_{n})\leq \max(a_{1},\ldots ,a_{n})}$
Монотонность	${\displaystyle F(a_{1},\ldots ,a_{n})\geq F(g_{1},\ldots ,g_{n})}$ если ${\displaystyle a_{i}\geq g_{i}}$ для ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$
Симметричность	${\displaystyle F(a_{1},\ldots ,a_{n})=F(a_{\boldsymbol {\pi (1)}},\ldots ,a_{\boldsymbol {\pi (n)}})}$, если ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}}$ — перестановка
Идемпотентность	${\displaystyle F(a_{1},\ldots ,a_{n})=a}$, если все ${\displaystyle a_{i}=a}$

Два параметра используются для характеристики операторов OWA. Первый — аттитюдинальная характеристика (англ. attitudinal character), также называемая orness^[1]:

Второй параметр — рассеяние (дисперсия):

${\displaystyle H(W)=-\sum _{j=1}^{n}w_{j}\ln(w_{j}).}$

Альтернативная характеристика: ${\displaystyle E(W)=\sum _{j=1}^{n}w_{j}^{2}}$. Параметр дисперсии описывает, насколько равномерно используются аргументы при агрегации.

Описанные выше операторы OWA Ягера используются для агрегирования чётких значений. Однако возможна агрегация нечётких множеств в схеме OWA. Для этого были предложены операторы впорядоченного взвешенного усреднения типа 1^[3][4]. Операторы типа 1 дают возможность непосредственно агрегировать неопределённую информацию с неопределёнными весами по схеме OWA в задачах нестрогого (soft) принятия решений и интеллектуальном анализе данных, где соответствующие неопределённые объекты моделируются с помощью нечётких множеств.

Аманатидис, Барро, Ланг, Маркакис и Рис^[5] разработали правила голосования для многозадачного голосования, основанные на OWA и расстоянии Хэмминга. Барро, Ланг и Йоко^[6] исследовали манипулируемость таких правил.