Бета-функция Дирихле

${\displaystyle L}$-функция Дирихле — функция комплексного переменного ${\displaystyle s=\sigma +it}$, определяемая для всех характеров Дирихле ${\displaystyle \chi {\bmod {d}}}$ рядом

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$.

Эти функции представляют собой естественное обобщение дзета-функции Римана ${\displaystyle \zeta (s)}$ на арифметические прогрессии и служат мощным средством исследований в аналитической теории чисел^[1].

${\displaystyle \beta }$-функция, ${\displaystyle {\text{B}}}$-функция Эйлера, интеграл Эйлера 1-го рода — функция двух переменных ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$, определяемая при ${\displaystyle p>0}$, ${\displaystyle q>0}$ равенством ${\displaystyle {\text{B}}(p,q)=\int _{0}^{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx}$.

Значения ${\displaystyle {\text{B}}}$-функции при различных значениях параметров ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ связаны между собой следующими соотношениями:

${\displaystyle {\text{B}}(p,q)={\text{B}}(q,p),}$

${\displaystyle {\text{B}}(p,q)={\frac {q-1}{p+q-1}}{\text{B}}(p,q-1),\quad q>1}$^[2].

Выражение бета-функции через гамма-функцию

${\displaystyle B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$^[3].

Бета-функция Дирихле определяется как

${\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}\;,}$

или, эквивалентным образом, через интегральное представление

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx\;,}$

где ${\displaystyle \Gamma (s)}$ — гамма-функция Эйлера.

Постоянная Каталана ${\displaystyle (G)}$ встречается в различных приложениях математики — в частности, в комбинаторике. Она может быть определена как сумма бесконечного знакочередующегося ряда:

${\displaystyle G=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\dots }$

Постоянная Каталана является частным случаем бета-функции Дирихле: ${\displaystyle G=\beta (2).}$

${\displaystyle \beta (0)\;=\;{\tfrac {1}{2}},}$

${\displaystyle \beta (1)\;=\;{\tfrac {1}{4}}\pi }$.

${\displaystyle \beta (3)\;=\;{\tfrac {1}{32}}\pi ^{3},}$

${\displaystyle \beta (4)\;=\;{\tfrac {1}{768}}\left[\psi _{3}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-8\pi ^{4}\right],}$

${\displaystyle \beta (5)\;=\;{\tfrac {5}{1536}}\pi ^{5},}$

${\displaystyle \beta (7)\;=\;{\tfrac {61}{184320}}\pi ^{7},}$

${\displaystyle \beta (9)\;=\;{\tfrac {1385}{41287680}}\pi ^{9},}$

где ${\displaystyle {\textstyle {\psi _{3}({\frac {1}{4}})}}}$ — частное значение пентагамма-функции (полигамма-функции третьего порядка).

${\displaystyle \beta (2k)={\frac {1}{2^{4k}(2k-1)!}}\left[\psi _{2k-1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\psi _{2k-1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right],}$

${\displaystyle \beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!},}$

где ${\displaystyle \psi _{2k-1}(z)\equiv \psi ^{(2k-1)}(z)}$ — полигамма-функция порядка ${\displaystyle 2k-1}$, а ${\displaystyle E_{2k}}$ — числа Эйлера.

${\displaystyle \beta (-2k)={\tfrac {1}{2}}E_{2k}\;,}$

${\displaystyle \beta (-2k-1)=0\;,}$

то есть ${\displaystyle \beta (s)}$ равна нулю для всех целых нечётных отрицательных значений аргумента (см. график функции).