Без ограничения общности

Без ограничения общности (БОО, WLOG, w.l.o.g.; без какой-либо потери общности, без всякой потери общности) — часто используемое выражение в математике, указывающее на то, что далее делается произвольное предположение, сужающее рассмотрение к частному случаю, однако не влияющее на общую обоснованность доказательства. Остальные случаи достаточно схожи с приведённым, так что их доказательство проводится по сути теми же рассуждениями^[1]. Таким образом, после доказательства частного случая становится тривиально распространить его на все остальные случаи.

Во многих ситуациях использование выражения «без ограничения общности» возможно благодаря наличию симметрии^[2]. Например, если некоторое свойство P(x,y) вещественных чисел симметрично по x и y, то есть P(x,y) эквивалентно P(y,x), то при доказательстве того, что P(x,y) выполняется для любых x и y, можно предположить без ограничения общности, что x ≤ y. Это предположение не ограничивает общности, поскольку, доказав случай x ≤ y ⇒ P(x,y), другой случай получается перестановкой x и y: y ≤ x ⇒ P(y,x), а по симметрии P это влечёт P(x,y), тем самым показывая, что P(x,y) выполняется во всех случаях.

С другой стороны, если такая симметрия или иная форма эквивалентности не установлена, то использование «без ограничения общности» некорректно и может привести к доказательству на примере — логической ошибке, заключающейся в доказательстве утверждения на нерепрезентативном примере^[3].