Банаховы пределы

Банаховый предел — линейный функционал $\mathrm {\mathrm {B} } \in l_{\infty }^{*}$ при выполнении следующих трёх условий:
1) $B(\mathbf {1} )=1$ ^[1];

2) $B\geq 0$ для любых $x\geq 0$ ;

3) $B(Tx)=B(x)$ для любого $x\in l_{\infty }$ , где $T$ — оператор сдвига, действующий следующим образом: $T(x_{1},x_{2},x_{3},...)=(x_{2},x_{3},...)$ .

Существование таких пределов было доказано Стефаном Банахом^[2]. Из определения следует, что $\|B\|_{l_{\infty }^{*}}=1$ и $B(x_{1},x_{2},...)=\lim _{n\to \infty }x_{n}$ , если последовательность $x_{1},x_{2},...$ сходится. Множество банаховых пределов обозначается как ${\mathfrak {B}}$ . ${\mathfrak {B}}$ — выпуклое замкнутое множество на единичной сфере пространства $l_{\infty }^{*}$ . Из неравенства треугольника следует, что для любых $B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {B}}$ справедливо неравенство $\|B_{1}-B_{2}\|\leq 2$ . Если $B_{1}$ и $B_{2}$ являются крайними точками множества ${\mathfrak {B}}$ , то $\|B_{1}-B_{2}\|=2$ ^[3].

Лемма 1

Различные банаховы пределы несравнимы, то есть если $B_{1}(x)\leq B_{2}(x)\quad \forall x\in l_{\infty }\quad x\geq 0$ , то $B_{1}(x)=B_{2}(x)$ ^[4].

Доказательство

Если $B_{1}(u)\leq B_{2}(u)$ для какого-то $u\in l_{\infty }\quad u\geq 0\quad \Rightarrow \quad \forall \lambda >0\quad u\neq 0\quad B_{1}(\lambda u)<B_{2}(\lambda u)$ . Возьмём $0<\lambda <{\frac {1}{\|u\|}}\quad \Rightarrow \quad 0\leq \lambda u\leq \mathbf {1} \quad \Rightarrow \quad \mathbf {1} -\lambda u\geq 0$ , $B_{1}(\mathbf {1} -\lambda u)=1-B_{1}(\lambda u)>1-B_{2}(\lambda u)=B_{2}(\mathbf {1} -\lambda u)$

Получаем противоречие, которое доказывает лемму^[4].

Теорема 1

Функционал $f\in l_{\infty }^{*}$ можно представить в виде $f=B_{1}-B_{2}$ ( $B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {B}}$ ) тогда и только тогда, когда

$f(Tx)=f(x)$ для всех $x\in l_{\infty }$
$f(\mathbf {1} )=1$
$\|f\|_{l_{\infty }^{*}}\leq 2$

Для того, чтобы при указанных условиях данное представление было единственным, необходимо и достаточно, чтобы $\|f\|_{l_{\infty }^{*}}=2$ ^[4].

Доказательство

Необходимость условий 1.—3. вытекает из определения банаховых пределов. Для доказательства достаточности определим функционал

g=\max(f,0)=\sup _{0\leq u\leq x}f(u)\quad g\in l_{\infty }^{*}\quad g\geq 0\quad \forall x\leq 0

Используя свойства 1.—3. получаем:

g(\mathbf {1} )=\sup _{0\leq u\leq \mathbf {1} }f(u)=\sup _{0\leq u+{\frac {1}{2}}\mathbf {1} \leq \mathbf {1} }f(u+{\frac {1}{2}}\mathbf {1} )=\sup _{-{\frac {1}{2}}\mathbf {1} \leq u\leq {\frac {1}{2}}\mathbf {1} }(f(u)+{\frac {1}{2}}f(\mathbf {1} ))=\sup _{\left|u\right|\leq {\frac {1}{2}}\mathbf {1} }f(u)={\frac {1}{2}}\|f\|_{l_{\infty }^{*}}\leq 1

Для

B\in {\mathfrak {B}}

справедливо, что

B_{1}=g+(1-{\frac {\|f\|}{2}})B\geq 0\qquad B_{1}(Tx)=B_{1}(x)\qquad B_{1}(\mathbf {1} )=1

,

значит $B_{1}$ — банахов предел. То же самое верно для функционала $B_{2}=B_{1}-f=g-f+(1-{\frac {\|f\|}{2}})B$ . По построению $B_{1}-B_{2}=f$ . Докажем единственность такого представления при $\|f\|=0$ . Пусть $f=B_{1}-B_{2}$ при $\|f\|=0$ .

B_{1}=f+B_{2}\quad B_{2}=f-B_{1}

B_{1}\geq 0\quad B_{1}\geq 0\Rightarrow B_{1}\geq f\quad B_{2}\geq f

B_{1}\geq \max(f,0)\quad B_{2}\geq \max(-f,0)

Выше доказано, что $max(f,0)\in {\mathfrak {B}}$ , аналогичные рассуждения показывают, что $max(-f,0)\in {\mathfrak {B}}$ . По лемме 1 получаем

B_{1}=\max(f,0)\quad B_{2}=\max(-f,0)

Теорема доказана^[4].

Для заданных $a\in \mathbb {R} ^{1}$ , $x\in l_{\infty }$ , для любых $\mathrm {\mathrm {B} } \in {\mathfrak {B}}$

B(x)=a\quad \Leftrightarrow \quad \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=m+1}^{m+n}x_{k}=a

равномерно по $m\in \mathbb {N}$ ^[5]. Последнее равенство называется критерием Лоренца. Его можно уточнить следующим образом^[6]:

\lim _{n\to \infty }\inf _{m\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n}}\sum _{k=m+1}^{m+n}x_{k}\leq B(x)\leq \lim _{n\to \infty }\sup _{m\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n}}\sum _{k=m+1}^{m+n}x_{k}

Последовательность $x\in l_{\infty }$ называется почти сходящейся к числу $a\in \mathbb {R} ^{1}$ , если значения всех банаховых пределов на этой последовательности равны $a$ . Используется следующее обозначение: $Lim\,x_{k}=a$ . Множество почти сходящихся последовательностей имеет обозначение $ac$ . $ac$ — линейное не сепарабельное пространство, замкнутое и нигде не плотное в $l_{\infty }$ . Множество почти сходящихся к числу $s$ последовательностей обозначается как $ac_{s}$ . Ясно, что $ac_{s}\subset ac$ для любого $s$ ^[4].

Пример

Последовательность $x=(1,0,1,0,...)$ не имеет обычного предела, но $Lim\,x={\frac {1}{2}}$ . Для проверки равенства можно использовать критерий Лоренца или свойство данной последовательности: $x_{k}=1-x_{k+1}$ .

Lim\,x_{k}=Lim\,(\mathbf {1} -x_{k+1})=1-Lim\,x_{k+1}=1-Lim\,x_{k}

Также можно будет использовать следующую лемму:

Лемма 2

Любая периодическая последовательность почти сходится к числу, равному среднему арифметическому значений по периоду ^[4].

Системой Радемахера называется последовательность функций

r_{n}(t)=\operatorname {sgn} \sin(2^{n}\pi t)\quad n\in \mathbb {N} \quad t\in [0,1]

Каждому $B\in {\mathfrak {B}}$ можно поставить в соответствие функцию

f_{B}(t)=B(r_{n}(t))

которая называется характеристической функцией банахова предела $B$ . $f_{B}$ — комплекснозначная функция^[7].

Теорема 2

Если $A,B\in {\mathfrak {B}}$ и $f_{A}(t)\leq f_{B}(t)$ для всех $t\in (0,1)$ , то $A=B$ для всех $x\in l_{\infty }$ ^[7].

Свойства характеристических функций

Пусть $A,B\in {\mathfrak {B}}$ , тогда

$f_{B}(t)$ периодична, причём периодом является любое двоично-рациональное число из $(0,1)$
$f_{B}(t)=f_{B}({\frac {t}{2}})$ для любых $t\in (0,1)$
$\forall \lambda \in [0,1]\,\exists \,x\in 2^{\mathbb {N} }\cap ac$ , что $B(x)=\lambda$ для любого $B\in {\mathfrak {B}}$ и $Im\,f_{B}=[-1,1]$
график $f_{B}$ плотен в прямоугольнике $[0,1]\times [-1,1]$
$f_{B}(t)+f_{B}(1-t)=0$ для всех $t\in (0,1)$ ^[7]

↑ Здесь и далее под $\mathbf {1}$ понимается последовательность $(1,1,1,...)$ .
↑ Стефан Банах, 1932.
↑ E.Semenov and F.Sukochev.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Усачёв А.А., 2009.
↑ Lorentz G.G., 1948.
↑ Sucheston L., 1967.
↑ ¹ ² ³ Е.М. Семёнов, Ф.А. Сукочёв, 2010.

Стефан Банах. Théorie Opérations Linéaires. — Варшава, 1932.
Е.М. Семёнов, Ф.А. Сукочёв. Характеристические функции банаховых пределов (рус.) // Сибирский математический журнал. — 2010. — Т. 51, № 4.
E.Semenov and F.Sukochev. Extreme points of the set of banach limits (англ.).
Lorentz G.G. Contribution to the theory of divergent sequences. — Acta Math, 1948. — С. 167—190. (англ.)
Усачёв А.А. Пространство почти сходящихся последовательностей и банаховы пределы / Е.М. Семёнов. — Воронеж: ВГУ, 2009. — 93 с.
Sucheston L. Banach limits (англ.) // Amer. Math. Monthly. — 1967. — Vol. 74, no. 3. — P. 308—311. (англ.)

[1] Здесь и далее под $\mathbf {1}$ понимается последовательность $(1,1,1,...)$ .

[_a2fa2cab373172a3-2] Стефан Банах, 1932.

[_05309b0ac77ef3a4-3] E.Semenov and F.Sukochev.

[_998169bb03aa0411-4] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Усачёв А.А., 2009.

[_ebfa92e5511610e7-5] Lorentz G.G., 1948.

[_e41dd02cc7a60b20-6] Sucheston L., 1967.

[_a49f1e8135e247fb-7] ¹ ² ³ Е.М. Семёнов, Ф.А. Сукочёв, 2010.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Банаховы пределы

Лемма 1

Теорема 1

Понятие почти сходимости

Пример

Лемма 2

Характеристические функции

Теорема 2

Свойства характеристических функций

Примечания

Литература

Категории