Ассоциатор

В любом кольце для ассоциатора верно тождество:

${\displaystyle w[x,y,z]+[w,x,y]z=[wx,y,z]-[w,xy,z]+[w,x,yz]}$.

Кольцо является альтернативным тогда и только тогда, когда его ассоциатор альтернативен, то есть:

${\displaystyle [x_{1},x_{2},x_{3}]=\operatorname {sgn} \sigma [x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)}]}$,

где ${\displaystyle \sigma }$ — перестановка трёх элементов, а ${\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma }$ — чётность этой перестановки.

В теории категорий ассоциатором называется изоморфизм:

${\displaystyle a_{x,y,z}:(x\otimes y)\otimes z\mapsto x\otimes (y\otimes z)}$.

Произведение здесь понимается в смысле произведения в моноидальной категории.