Активное и пассивное преобразование

Активное преобразование и пассивное преобразование — термины, введённые в 1957 году Валентином Барджманом для описания преобразований Лоренца в специальной теории относительности^[1]. Активные или alibi-преобразования изменяют физическое положение множества точек относительно фиксированной системы отсчёта или системы координат (alibi — «быть в другом месте в то же время»). Пассивные или alias-преобразования оставляют точки на месте, но изменяют систему отсчёта или систему координат, относительно которой они описываются (alias — «под другим именем»)^[2]^[3]. Активные преобразования полезны для описания последовательных положений жёсткого тела. Пассивные преобразования могут быть полезны в анализе движений человека для наблюдения за движением большеберцовой кости относительно бедренной кости, то есть относительно (локальной) системы координат, движущейся вместе с бедром, а не (глобальной) системы координат, закреплённой на полу^[3]. В трёхмерном евклидовом пространстве любое правильное жёсткое движение, будь то активное или пассивное, может быть представлено как винтовое перемещение — композиция параллельного переноса вдоль оси и поворота вокруг этой оси.

В качестве примера рассмотрим вектор $\mathbf {v} =(v_{1},v_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ на плоскости. Поворот вектора на угол θ против часовой стрелки задаётся матрицей поворота:

R={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}},

активное преобразованиепассивное преобразованиематрицаобращена

В общем случае пространственное преобразование $T\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ может состоять из параллельного переноса и линейного преобразования. Далее параллельный перенос опускается, а линейное преобразование представляется 3×3 матрицей $T$ .

Активное преобразование

В случае активного преобразования $T$ преобразует исходный вектор $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$ в новый вектор $\mathbf {v} '=(v'_{x},v'_{y},v'_{z})=T\mathbf {v} =T(v_{x},v_{y},v_{z})$ .

Если рассматривать $\{\mathbf {e} '_{x}=T(1,0,0),\ \mathbf {e} '_{y}=T(0,1,0),\ \mathbf {e} '_{z}=T(0,0,1)\}$ как новый базис, то координаты нового вектора $\mathbf {v} '=v_{x}\mathbf {e} '_{x}+v_{y}\mathbf {e} '_{y}+v_{z}\mathbf {e} '_{z}$ в новом базисе совпадают с координатами $\mathbf {v} =v_{x}\mathbf {e} _{x}+v_{y}\mathbf {e} _{y}+v_{z}\mathbf {e} _{z}$ в исходном базисе. Активные преобразования имеют смысл даже как линейные преобразования в другой векторное пространство. Записывать новый вектор в непомеченном (нештрихованном) базисе имеет смысл только тогда, когда преобразование осуществляется в пространстве в себя.

Пассивное преобразование

Если рассматривать $T$ как пассивное преобразование, исходный вектор $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$ остаётся неизменным, а система координат и её базисные векторы преобразуются в противоположном направлении, то есть с помощью обратного преобразования $T^{-1}$ ^[4]. Это даёт новую систему координат XYZ с базисными векторами:

\mathbf {e} _{X}=T^{-1}(1,0,0),\ \mathbf {e} _{Y}=T^{-1}(0,1,0),\ \mathbf {e} _{Z}=T^{-1}(0,0,1)

Новые координаты $(v_{X},v_{Y},v_{Z})$ вектора $\mathbf {v}$ относительно новой системы координат XYZ определяются как:

\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})=v_{X}\mathbf {e} _{X}+v_{Y}\mathbf {e} _{Y}+v_{Z}\mathbf {e} _{Z}=T^{-1}(v_{X},v_{Y},v_{Z}).

Из этого уравнения видно, что новые координаты выражаются как

(v_{X},v_{Y},v_{Z})=T(v_{x},v_{y},v_{z}).

Таким образом, как пассивное преобразование $T$ переводит старые координаты в новые.

Следует отметить эквивалентность двух видов преобразований: координаты новой точки при активном преобразовании и новые координаты точки при пассивном преобразовании совпадают, а именно

(v_{X},v_{Y},v_{Z})=(v'_{x},v'_{y},v'_{z}).

Различие между активными и пассивными преобразованиями можно увидеть математически, рассматривая абстрактные векторные пространства.

Зафиксируем конечномерное векторное пространство $V$ над полем $K$ (например, $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ ) и базис ${\mathcal {B}}=\{e_{i}\}_{1\leq i\leq n}$ пространства $V$ . Этот базис задаёт изоморфизм $C:K^{n}\rightarrow V$ посредством отображения компонент ${\textstyle (v_{i})_{1\leq i\leq n}=(v_{1},\cdots ,v_{n})\mapsto \sum _{i}v_{i}e_{i}}$ .

Активное преобразование — это эндоморфизм пространства $V$ , то есть линейное отображение из $V$ в себя. Пусть $\tau \in {\text{End}}(V)$ — такое преобразование, тогда вектор $v\in V$ преобразуется как $v\mapsto \tau v$ . Компоненты $\tau$ в базисе ${\mathcal {B}}$ определяются уравнением ${\textstyle \tau e_{i}=\sum _{j}\tau _{ji}e_{j}}$ . Тогда компоненты $v$ преобразуются как $v_{i}\mapsto \tau _{ij}v_{j}$ .

Пассивное преобразование — это эндоморфизм пространства $K^{n}$ . Оно применяется к компонентам: $v_{i}\mapsto T_{ij}v_{j}=:v'_{i}$ . Если $T$ обратимо, новый базис ${\mathcal {B}}'=\{e'_{i}\}$ определяется из условия $v_{i}e_{i}=v'_{i}e'_{i}$ , откуда выводится выражение $e'_{i}=(T^{-1})_{ji}e_{j}$ .

Хотя пространства ${\text{End}}(V)$ и ${\text{End}}({K^{n}})$ изоморфны, этот изоморфизм не является каноническим. Тем не менее, выбор базиса ${\mathcal {B}}$ позволяет построить такой изоморфизм.

Как левые и правые действия

Часто рассматривают случай, когда отображения обратимы, так что активные преобразования образуют общую линейную группу ${\text{GL}}(V)$ преобразований, а пассивные преобразования — группу ${\text{GL}}(n,K)$ .

Преобразования можно рассматривать как действия на множестве базисов пространства $V$ . Активное преобразование $\tau \in {\text{GL}}(V)$ переводит базис $\{e_{i}\}\mapsto \{\tau e_{i}\}$ . В то же время пассивное преобразование $T\in {\text{GL}}(n,K)$ переводит базис ${\textstyle \{e_{i}\}\mapsto \left\{\sum _{j}(T^{-1})_{ji}e_{j}\right\}}$ .

Обращение в пассивном преобразовании обеспечивает то, что компоненты преобразуются одинаково при $\tau$ и $T$ . Это и даёт чёткое различие между активными и пассивными преобразованиями: активные преобразования действуют слева на базисы, а пассивные — справа, благодаря обращению.

Это становится естественнее, если рассматривать базисы ${\mathcal {B}}$ как выбор изоморфизма $\Phi _{\mathcal {B}}:K^{n}\rightarrow V$ . Множество базисов эквивалентно множеству таких изоморфизмов, обозначаемому ${\text{Iso}}(K^{n},V)$ . Активные преобразования, отождествляемые с ${\text{GL}}(V)$ , действуют на ${\text{Iso}}(K^{n},V)$ слева посредством композиции, то есть если $\tau$ — активное преобразование, то $\Phi _{\mathcal {B'}}=\tau \circ \Phi _{\mathcal {B}}$ . Наоборот, пассивные преобразования, отождествляемые с ${\text{GL}}(n,K)$ , действуют на ${\text{Iso}}(K^{n},V)$ справа посредством предкомпозиции: если $T$ — пассивное преобразование, то $\Phi _{\mathcal {B''}}=\Phi _{\mathcal {B}}\circ T$ .

Таким образом, множество базисов становится левым ${\text{GL}}(V)$ -торсором и правым ${\text{GL}}(n,K)$ -торсором.

С физической точки зрения, активные преобразования можно охарактеризовать как преобразования физического пространства, а пассивные — как избыточность в описании физического пространства. Это играет важную роль в математической калибровочной теории, где калибровочные преобразования математически описываются переходными отображениями, действующими справа на слоях.

↑ Bargmann, Valentine (1957). “Relativity”. Reviews of Modern Physics. 29 (2): 161—174. Bibcode:1957RvMP...29..161B. DOI:10.1103/RevModPhys.29.161.
↑ Crampin, M. Applicable Differential Geometry / M. Crampin, F.A.E. Pirani. — Cambridge University Press, 1986. — P. 22. — ISBN 978-0-521-23190-9.
↑ ¹ ² Joseph K. Davidson, Kenneth Henderson Hunt. §4.4.1 The active interpretation and the active transformation // Robots and screw theory: applications of kinematics and statics to robotics. — Oxford University Press, 2004. — P. 74 ff. — ISBN 0-19-856245-4.
↑ Amidror, Isaac. Appendix D: Remark D.12 // The theory of the Moiré phenomenon: Aperiodic layers. — Springer, 2007. — P. 346. — ISBN 978-1-4020-5457-0.

Дирк Струйк (1953) Lectures on Analytic and Projective Geometry, стр. 84, Addison-Wesley.

UI ambiguity

[1] Bargmann, Valentine (1957). “Relativity”. Reviews of Modern Physics. 29 (2): 161—174. Bibcode:1957RvMP...29..161B. DOI:10.1103/RevModPhys.29.161.

[2] Crampin, M. Applicable Differential Geometry / M. Crampin, F.A.E. Pirani. — Cambridge University Press, 1986. — P. 22. — ISBN 978-0-521-23190-9.

[Davidson-3] ¹ ² Joseph K. Davidson, Kenneth Henderson Hunt. §4.4.1 The active interpretation and the active transformation // Robots and screw theory: applications of kinematics and statics to robotics. — Oxford University Press, 2004. — P. 74 ff. — ISBN 0-19-856245-4.

[Amidror-4] Amidror, Isaac. Appendix D: Remark D.12 // The theory of the Moiré phenomenon: Aperiodic layers. — Springer, 2007. — P. 346. — ISBN 978-1-4020-5457-0.

[1]

[2]

[3]

[4]

Активное и пассивное преобразование

Пример

Пространственные преобразования в евклидовом пространстве R3

Активное преобразование

Пассивное преобразование

В абстрактных векторных пространствах

Как левые и правые действия

Примечания

Литература

Ссылки

Категории