Аксиомы Уайтмана

Физические состояния описываются единичными лучами (векторами с единичной нормой и отличающимся только умножением на комплексное число модуля единица) в сепарабельном гильбертовом пространстве.^[11] Их релятивистские преобразования задаются унитарным представлением^[en] группы Пуанкаре^[12][13].

Квантовые поля описываются операторными обобщёнными функциями, удовлетворяющим ковариантным представлениям группы Пуанкаре^[en][13].

Предположение спектральности означает, что спектр оператора четырёхимпульса не выходит за пределы светового конуса будущего^[12][14].

Для избегания сингулярностей при описании физических полей используется идея их размазывания при помощи финитной функции^[15]. Поскольку размазанные поля могут достигать произвольно больших значений, для их описания используются неограниченные операторы^[en] с математически строго указанными областями их определения^[15][13].

Аксиомы Уайтмана используют принцип локальности или микропричинности, постулируя либо коммутативность, либо антикоммутативность между операторами, описывающими компоненты полей, заданных в точках пространства-времени, разделенных пространственноподобными интервалами ^[16][17].

Постулируется существование, единственность и пуанкаре-инвариантность вакуума, описываемого вакуумным вектором^[13]. Вакуум является «циклическим», то есть набор всех векторов, получаемых путем действия на вакуумное состояние полиномов, составленных из операторов размазанного поля, является плотным подмножеством всего гильбертова пространства{^[18][17].

Чистые состояния физической системы задаются единичными векторами в сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве ^[19][11]. Скалярное произведение векторов гильбертова пространства ${\displaystyle \Psi }$ и ${\displaystyle \Phi }$ обозначается как ${\displaystyle \langle \Psi ,\Phi \rangle }$^[1], а норма ${\displaystyle \Phi }$ обозначается как ${\displaystyle \lVert \Phi \rVert }$^[20]. Вероятность перехода между двумя чистыми состояниями, заданными ненулевыми векторами ${\displaystyle \Psi }$ и ${\displaystyle \Phi }$ определена как: ${\displaystyle P{\big (}\Psi ,\Phi {\big )}={\frac {|\langle \Psi ,\Phi \rangle |^{2}}{\lVert \Psi \rVert ^{2}\lVert \Phi \rVert ^{2}}}}$. Релятивистский закон преобразования состояний физической системы задается унитарным представлением спинорной группы Пуанкаре^[21][13]. Спектр оператора энергии-импульса содержится в световом конусе будущего:^[13]

${\displaystyle P_{0}\geq 0,\quad P_{0}^{2}-P_{j}P_{j}\geq 0.}$

Существует единственное состояние, называемое вакуумом, представленное лучом в гильбертовом пространстве, инвариантное относительно действия группы Пуанкаре.^[12][13]

Для каждой финитной функции f, то есть для функции с компактным носителем и непрерывными производными любого порядка,^[22] существует набор операторов ${\displaystyle A_{1}(f),\ldots ,A_{n}(f)}$, которые вместе со своими сопряженными, определены на плотном подмножестве гильбертова пространства состояний, содержащем вакуум.^[23] Условие цикличности вакуума: множество линейных комбинаций векторов, порожденных полиномами, составленными из операторов поля, действующими на вакуум, плотно в гильбертовом пространстве.^[17][18]

Поля ковариантны относительно действия группы Пуанкаре и преобразуются согласно некоторому представлению S группы SL(2, C):^[13][24]

${\displaystyle U(a,L)^{\dagger }A(x)U(a,L)=S(L)A{\big (}L^{-1}(x-a){\big )}.}$

Если носители двух полей разделены пространственноподобным интервалом, то поля либо коммутируют, либо антикоммутируют.^[17][16]

Из аксиом Уайтмана следуют некоторые общие теоремы:

• Теорема CPT — существует общая симметрия при изменении четности, обращении частица-античастица и инверсии времени (как выяснилось, ни одна из этих симметрий сама по себе не существует в природе).

• Связь между спином и статистикой — поля с полуцелым спином антикоммутируют, а поля с целочисленным спином коммутируют (аксиома W3).

• Невозможность сверхсветовой связи^[en] — если два наблюдателя разделены пространственноподобным интервалом, то действия одного наблюдателя (включая как измерения, так и изменения гамильтониана) не влияют на статистику измерений другого наблюдателя.^[25]

Можно обобщить аксиомы Уайтмана на их применение в пространстве-времени размерности, отличной от 4. Были построены теории взаимодействующих полей, удовлетворяющие аксиомам Уайтмана, в пространстве-времени размерности 2^[26] и 3^[27]. В настоящее время отсутствует доказательство, что аксиомы Уайтмана могут быть выполнены для теорий взаимодействующих полей в пространстве-времени размерности 4^[27]. Таким образом, аксиомы Уайтмана не могут использоваться в качестве математически строгой основы Стандартной модели физики элементарных частиц. Назначен приз в миллион долларов^[en] за доказательство того, что аксиомы Уайтмана могут быть выполнены для калибровочных теорий с дополнительным требованием предсказания массы легчайшей элементарной частицы.

• А. С. Уайтман^?!, «Hilbert’s sixth problem: Mathematical treatment of the axioms of physics», in F. E. Browder (ed.): Vol. 28 (part 1) of Proc. Symp. Pure Math., Amer. Math. Soc., 1976, pp. 241—268.
• Р. Йост Общая теория квантованных полей. — М., Мир, 1967.