Аксиоматика Колмогорова

Аксиоматика Колмогорова
Аксиоматика Колмогорова
Область использования	Математика
Место появления	Москва
Автор понятия	Колмогоров Андрей Николаевич

Аксиоматика Колмогорова
Аксиоматика Колмогорова
Область использования	Математика
Место появления	Москва
Автор понятия	Колмогоров Андрей Николаевич

Аксиома́тика Колмого́рова — в теории вероятностей общепринятая система аксиом А. Н. Колмогорова, лежащих в основе построения вероятностных моделей экспериментов с исходами (явлениями) из пространства элементарных событий^[1]. Аксиоматическое обоснование теории вероятностей позволяет строить изложение предмета исключительно на основе аксиом, не опираясь на конкретное значение объектов и их отношений^[2].

В 1924 году Колмогоров впервые занялся теорией вероятностей. Важнейшее значение как для данной области математики, так и для её приложений к естествознанию имеет закон больших чисел. Вопросами его обоснования на протяжении десятилетий занимались крупнейшие математики, но именно Колмогорову удалось в 1928 году выявить и доказать необходимые и достаточные условия справедливости закона больших чисел.

Многие годы тесного и плодотворного сотрудничества связывали его с А. Я. Хинчиным, который в 1920-е годы также начал разработку вопросов теории вероятностей. Она и стала областью совместной деятельности этих учёных, которые в 1925 году успешно применили к ней методы теории функций действительного переменного. Колмогоров и Хинчин сумели найти необходимые и достаточные условия сходимости рядов, члены которых являются взаимно независимыми случайными величинами; в 1929 году Колмогоров, обобщив более ранние результаты Хинчина, доказал для сумм независимых случайных величин закон повторного логарифма при весьма широких условиях, наложенных на слагаемые^[3].

Наука «о случае» ещё со времён П. Л. Чебышёва была как бы русской национальной наукой. Её успехи приумножили многие советские математики, но современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Колмогоровым в 1929 году и окончательно — в 1933 году. Своей работой «Основные понятия теории вероятностей», первое издание которой опубликовано в 1933 году на немецком языке (Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung), А. Н. Колмогоров заложил фундамент современной теории вероятностей, основанной на теории меры. В частности, в монографии 1933 года он впервые сформулировал и доказал основные теоремы о бесконечномерных распределениях, которые позднее составили надёжный фундамент для логически безупречного построения теории случайных функций и последовательностей случайных величин.

До Колмогорова попытки аксиоматизировать теорию вероятностей предпринимали Г. Больман (1908), С. Н. Бернштейн (1917), Р. Мизес (1919 и 1928), а также Ломницкий A. (1923) на базе идей Э. Бореля о связи понятий вероятности и меры.

Элементарная теория вероятностей

Элементарной называют ту часть теории вероятностей, в которой рассматриваются вероятности конечного числа событий.

Пространство элементарных событий

Пусть $\Omega$ — множество элементов $\omega$ , называемых элементарными событиями. Множество $\Omega$ называется пространством элементарных событий. Множество подмножеств из $\Omega$ обозначается ${\mathcal {F}}$ и состоит из случайных событий (или просто — событий).

Поля вероятностей (вероятностное пространство)

Для построения простейших полей вероятностей берут произвольное конечное множество $\Omega =\{\omega _{1},...,\omega _{k}\}$ и произвольное множество $\{p_{1},...,p_{k}\}$ неотрицательных чисел с суммою $p_{1}+...+p_{k}=1$ . За ${\mathcal {F}}$ принимается совокупность всех подмножеств $A$ из $\Omega$ и для $A=\{\omega _{i_{1}},...,\omega _{i_{\lambda }}\}$ полагается $\mathbf {P} (A)=p_{i_{1}}+...+p_{i_{\lambda }}\}$ . В этом случае $p_{1},...,p_{k}$ называют вероятностями элементарных событий $\omega _{1},...,\omega _{k}$ или просто элементарными вероятностями. Так получают все возможные конечные поля вероятностей, в которых ${\mathcal {F}}$ состоит из совокупности всех подмножеств из $\Omega$ .

Поле вероятностей называют конечным, если множество $\Omega$ конечно^[4].

Алгебра множеств

Система ${\mathcal {F}}$ подмножеств множества $\Omega$ называется алгеброй, если $\Omega \in {\mathcal {F}}$ , объединение, пересечение и разность двух множеств системы опять принадлежат этой системе.

Пересечение множеств $A$ и $B$ обозначается $A\cap B$ или $AB$ .

Объединение множеств обозначается $A\cup B$ , а также $A+B$ и называется суммой.
Разность множеств обозначается $A\setminus B$ .
Дополнительное множество $\Omega \setminus A$ к множеству $A$ обозначается ${\overline {A}}$ .
Пустое множество обозначается $\varnothing$ . Если множества $A$ и $B$ не пересекаются, то пишут $AB=\varnothing$ .

Алгебра событий

Алгебра событий — алгебра подмножеств пространства элементарных событий $\Omega$ , элементами которого служат элементарные события. Алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых с конечным количеством множеств.

Борелевская алгебра

Алгебра ${\mathcal {F}}$ подмножеств множества $\Omega$ называется борелевской алгеброй или $\sigma$ -алгеброй, если все счётные суммы $\sum _{n}A_{n}$ множеств $A_{n}$ из ${\mathcal {F}}$ принадлежат ${\mathcal {F}}$ ^[5].

Вероятностное пространство

Вероятностное пространство — это алгебра событий с заданной функцией вероятности $\mathbf {P}$ , то есть сигма-аддитивной конечной мерой, областью определения которой является алгебра событий, где $\mathbf {P} (\Omega )=1$ .

Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определённой на сигма-алгебре событий, порождённой данной алгеброй событий^[6].

Аксиома I

Система ${\mathcal {F}}$ подмножеств множества $\Omega$ является алгеброй множеств.

Аксиома II

Каждому множеству $A$ из ${\mathcal {F}}$ поставлено в соответствие неотрицательное действительное число $\mathbf {P} (A)$ . Это число называется вероятностью события $A$ .

Аксиома III

Вероятность пространства элементарных событий $\Omega$ равна единице: $\mathbf {P} (\Omega )=1$ .

Аксиома IV

Если $A$ и $B$ не пересекаются, то $\mathbf {P} (A+B)=\mathbf {P} (A)+\mathbf {P} (B)$ .

Совокупность объектов $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )$ , удовлетворяющая аксиомам $I-IV$ , называется полем вероятностей. Система аксиом $I-IV$ непротиворечива. Однако, эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные поля вероятностей^[4].

Эмпирическая дедукция аксиом

Пусть система ${\mathcal {F}}$ рассматриваемых событий $A,B,C,\ldots ,$ которым приписаны определённые вероятности, образует алгебру множеств, содержащую в качестве элемента множество $\Omega$ (аксиома I, а также первая часть аксиомы II — существование вероятности).
Если количество повторений опытов принять за $n$ и через $m$ обозначить число случаев, при которых событие $A$ наступило, то отношение ${\frac {m}{n}}$ будет мало отличаться от $\mathbf {P} (A)$ . Ясно, что $0\leqslant {\frac {m}{n}}\leqslant 1$ , что отражено в аксиоме II.
Для события $\Omega$ всегда $m=n$ , откуда $\mathbf {P} (\Omega )=1$ (аксиома III).
Если множества $A$ и $B$ не пересекаются, то $m=m_{1}+m_{2}$ , где $m,m_{1},m_{2}$ обозначают соответственно число опытов, в которых происходят события $A+B,A,B$ . Отсюда следует: ${\frac {m}{n}}={\frac {m_{1}}{n}}+{\frac {m_{2}}{n}}.$ Следовательно $\mathbf {P} (A+B)=\mathbf {P} (A)+\mathbf {P} (B)$ (аксиома IV)^[7].

Следствия из аксиом I-IV

Следствия из аксиом III и IV

$\mathbf {P} (A)+\mathbf {P} ({\overline {A}})=1$ , откуда $\mathbf {P} ({\overline {A}})=1-\mathbf {P} (A)$ .

Так как ${\overline {\Omega }}=\varnothing$ , то, в частности, $\mathbf {P} (\varnothing )=0$ .

Следствия из аксиомы IV (теорема сложения)

Если множества $A,B,...,N$ не пересекаются, то из аксиомы IV следует формула $\mathbf {P} (A+B+...+N)=\mathbf {P} (A)+\mathbf {P} (B)+...+\mathbf {P} (N)$ .

Условная вероятность

Если $P(A)>0$ , то частное $P(B\mid A)={\frac {P(AB)}{P(A)}}$ называют условной вероятностью события $B$ при условии $A$ .

Отсюда следует, что $P(AB)=P(B\mid A)\cdot P(A)$ .

Теорема умножения

Заключение по индукции даёт общую формулу:

$P(A_{1}A_{2}...A_{n})=P(A_{1})\cdot P(A_{2}\mid A_{1})\cdot P(A_{3}\mid A_{1}A_{2})\cdot ...\cdot P(A_{n}\mid A_{1}...A_{n-1})$ .

Теорема Байеса:

Из формулы $P(AB)=P(B\mid A)\cdot P(A)$ и из аналогичной формулы $P(AB)=P(A\mid B)\cdot P(B)$ получают важную формулу

P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}}

, содержащую теорему Байеса^[8].

Обозначения

Пересечение конечных или бесконечных множеств $A_{m}$ обозначается как $\bigcap _{m}A_{m}$ и равно $\bigcap _{m}A_{m}=\bigcap _{m}A_{m}=A_{1}A_{2}A_{3}\dots$ ;
Объединение этих множеств обозначается как $\bigcup _{m}A_{m}$ и равно $\bigcup _{m}A_{m}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \dots$ .

В случае непересекающихся множеств $A_{m}$ объединение $\bigcup _{m}A_{m}$ называется суммой и обозначается $\sum _{m}A_{m}=A_{1}+A_{2}+A_{3}+\dots$ .

Аксиома непрерывности

Аксиома V

Для убывающей последовательности  $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq \dots \supseteq A_{n}\supseteq \dots$  событий из  ${\mathcal {F}}$  такой, что  $\bigcap _{n}A_{n}=\varnothing ,$  имеет место равенство  $\lim _{n\rightarrow \infty }\mathbf {P} (A_{n})=0$ .

Полем вероятностей принято называть только такое вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )$ , которое, кроме аксиом $I-IV$ , удовлетворяет аксиоме

$V$ . Поля вероятностей, обобщённые на бесконечные пространства, называют полями вероятностей в расширенном смысле.

Если система множеств ${\mathcal {F}}$ конечна, аксиома $V$ следует из аксиом $I-IV$ . Для бесконечных полей аксиома непрерывности $V$ является независимой от аксиом $I-IV$ . Так как она существенна лишь для бесконечных полей вероятностей, то практически невозможно разъяснить ее эмпирическое значение. При описании наблюдаемого случайного процесса можно получать только конечные поля вероятностей. Бесконечные поля вероятностей являются идеализированными схемами действительных случайных явлений^[9].

Поле вероятностей $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )$ называется борелевским полем вероятностей, если соответствующая алгебра ${\mathcal {F}}$ является борелевской.

Теорема (о продолжении)

Пусть дано поле вероятностей $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{0},\mathbf {P} )$ , причём существует наименьшая $\sigma$ -алгебра ${\mathcal {F}}=\sigma ({\mathcal {F}}_{0})$ , содержащая ${\mathcal {F}}_{0}$ .

Определённую на $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{0})$ неотрицательную счётно-аддитивную функцию множеств $\mathbf {P} =\mathbf {P} (\cdot )$ всегда можно продолжить с сохранением обоих свойств (неотрицательности и счётной аддитивности) на все множества из ${\mathcal {F}}$ и при этом единственным образом.

Борелевская алгебра ${\mathcal {F}}=\sigma ({\mathcal {F}}_{0})$ вместе с продолженной функцией множеств $\mathbf {P} =\mathbf {P} (\cdot )$ образует некоторое поле вероятностей $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )$ , называемое борелевским расширением поля $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{0},\mathbf {P} )$ .

Замечание

Вместе с тем множества из $\sigma$ -алгебры ${\mathcal {F}}$ бесконечного вероятностного пространства можно рассматривать только как «идеальные события», прямо не представимые в мире наблюдений. Если, однако, рассуждение, которое использует вероятности таких «идеальных событий» приводит к определению вероятностей «реального события» из ${\mathcal {F}}$ , то это определение, очевидно, автоматически будет непротиворечивым и с эмпирической точки зрения^[10].

↑ Ширяев А. Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2007. — С. 196.
↑ Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М. — С. 10.
↑ Боголюбов Н. Н., Гнеденко Б. В., Соболев С. Л. А. Н. Колмогоров (к 80-летию со дня рождения). — 1983. — С. 13.
↑ ¹ ² Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М. — С. 10-11.
↑ Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М., 1974. — С. 29.
↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М., 2004. — С. 47-53.
↑ Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М. — С. 12-13.
↑ Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М. — С. 16.
↑ Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М. — С. 27.
↑ Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М., 1974. — С. 30-31.

Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. Изд. стереотип. Фундамент будущего: Классический учебник МГУ. — М.: ЛЕНАНД, 2025. — 120 с. — (Юбилейная серия в честь 270-летия МГУ имени М. В. Ломоносова).
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа : учебное пособие для вузов. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
Ширяев А. Н. Вероятность: В 2-х кн. — 4-е изд., переработ. и доп. — М.: МЦНМО, 2007. — Т. Кн.. — 552 с. — ISBN 978-5-94057-105-6.
100 великих учёных / Самин Д. К. — М.: Вече, 2000. — 592 с. — (100 великих). — ISBN 5-7838-0649-8.
Андрей Николаевич Колмогоров. Полная библиография его трудов и список публикаций, ему посвящённых. — М.: МЦНМО, 2016
Боголюбов Н. Н., Гнеденко Б. В., Соболев С. Л. Андрей Николаевич Колмогоров (к восьмидесятилетию со дня рождения) (рус.) // Успехи математических наук. — Российская академия наук, 1983. — Т. 38, № 4 (232). — С. 11—26.
Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1977. — 368 с.
Садовничий В. А. Андрей Николаевич Колмогоров (1903—1987) // О людях Московского университета. — 3-е изд., дополненное. — М.: Издательство Московского университета, 2019. — С. 189—195. — 356 с. — 3000 экз. — ISBN 978-5-19-011397-6.
Успенский В. А. Колмогоров // Новая философская энциклопедия : в 4 т. / пред. науч.-ред. совета В. С. Стёпин. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Мысль, 2010. — 2816 с.

[1] Ширяев А. Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2007. — С. 196.

[2] Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М. — С. 10.

[3] Боголюбов Н. Н., Гнеденко Б. В., Соболев С. Л. А. Н. Колмогоров (к 80-летию со дня рождения). — 1983. — С. 13.

[:0-4] ¹ ² Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М. — С. 10-11.

[5] Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М., 1974. — С. 29.

[6] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М., 2004. — С. 47-53.

[7] Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М. — С. 12-13.

[8] Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М. — С. 16.

[9] Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М. — С. 27.

[10] Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М., 1974. — С. 30-31.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

Аксиоматика Колмогорова

История

Основные понятия

Аксиомы элементарной теории вероятностей

Эмпирическая дедукция аксиом

Следствия из аксиом I-IV

Условная вероятность

Бесконечные поля вероятностей

Аксиома непрерывности

Борелевские поля вероятностей

Теорема (о продолжении)

Примечания

Литература

Категории