LC-осциллятор

LC-осциллятор — электрическая цепь, состоящая в простейшем случае из параллельно соединённых ёмкости, индуктивности и нелинейного сопротивления, вольт-амперная характеристика которого имеет отрицательную дифференциальную проводимость ${\displaystyle {g=di/du}}$ в области малых напряжений. Дифференциальное уравнение цепи имеет вид

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+{\frac {g(u)}{C}}{\frac {du}{dt}}+{\frac {1}{LC}}u=0,\quad (1)}$

Если ВАХ нелинейного сопротивления аппроксимировать сокращённым полиномом третьего порядка ${\displaystyle i(u)=a_{1}u+a_{3}u^{3}}$, то при отрицательном коэффициенте ${\displaystyle a_{1}}$ , положительном ${\displaystyle a_{3}}$ и численном равенстве ${\displaystyle a_{1}=-a_{3}}$ уравнение (1) совпадает с уравнением Ван дер Поля. В общем случае уравнение (1) не имеет аналитического решения. Существует возможность получения стационарного решения в квадратурах для частных случаев. Одним из них является аппроксимация ВАХ прямой, проходящей через начало координат, с изломом в точке ${\displaystyle U_{0}}$ таким образом, чтобы дифференциальная проводимость описывалась выражением^[1]

${\displaystyle g(u)=\left\{{\begin{matrix}kG,&u\geq U_{0};\\-G,&u<U_{0},\end{matrix}}\right.}$

где ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle U_{0}}$ — положительные константы. При ${\displaystyle k<1}$ система неустойчива, при ${\displaystyle k>1}$ и малых ${\displaystyle G}$ в системе возникают стационарные колебания, близкие по форме к гармоническим. На отдельных интервалах периода колебания стационарное решение однородного уравнения (1) при ${\displaystyle kG<{\sqrt {C/L}}}$ имеет вид:

${\displaystyle u(t)=\left\{{\begin{matrix}u_{1}=(a_{1}\sin \omega _{1}t+a_{2}\cos \omega _{1}t)exp{(-\delta _{1}t)};\quad 0\leq t<t_{1};\\u_{2}=(a_{2}\sin \omega _{2}t+a_{2}\cos \omega _{2}t)exp(\delta _{2}\,t);\quad \,t_{1}<t\leq T,\end{matrix}}\right.}$

где ${\displaystyle \delta _{1}=kG/(2C)}$, ${\displaystyle \delta _{2}=G/(2C)}$, ${\displaystyle \omega _{1}={\sqrt {1/(LC)-(kG/2C)^{2}}}}$, ${\displaystyle \omega _{2}={\sqrt {1/(LC)-(G/2C)^{2}}}}$.
Период колебания ${\displaystyle T}$ , момент времени ${\displaystyle t_{1}}$, служащий границей интервалов, на которых рассматривается (1) и постоянные интегрирования ${\displaystyle a_{1,2}}$, ${\displaystyle b_{1,2}}$ определяются из решения системы уравнений^[2]

${\displaystyle u_{1}(0)=U_{0}}$; ${\displaystyle u_{1}(t_{1})=U_{0}}$; ${\displaystyle u_{1}(0)=u_{2}(T)}$; ${\displaystyle u_{1}(t_{1})=u_{2}(t_{1})}$; ${\displaystyle \left.{\begin{matrix}du_{1}/dt\end{matrix}}\right|_{0}=\left.{\begin{matrix}du_{2}/dt\end{matrix}}\right|_{T}}$; ${\displaystyle \left.{\begin{matrix}du_{1}/dt\end{matrix}}\right|_{t_{1}}=\left.{\begin{matrix}du_{2}/dt\end{matrix}}\right|_{t_{1}}}$.

Коэффициенты решения (1), полученные численно с ошибкой в последнем разряде при ${\displaystyle L=1}$ Гн, ${\displaystyle C=1}$ Ф, ${\displaystyle G=0,2}$ См, ${\displaystyle U_{0}=1}$ B и ${\displaystyle k=2}$:

${\displaystyle a_{1}=4,66464104629771}$,B; ${\displaystyle a_{2}=1}$,B; ${\displaystyle b_{1}=2,13803529592679}$,B; ${\displaystyle b_{2}=0,0116873463357039}$,B; ${\displaystyle t_{1}=2,78836465601698}$,с; ${\displaystyle T=6,55583946961978}$, с.

В случае ${\displaystyle G>{\sqrt {C/L}}}$ генерируемые колебания становятся релаксационными, решение ищется в виде суммы двух экспоненциальных функций, но константы решения определяются по-прежнему из условия непрерывности ${\displaystyle u(t)}$ и ${\displaystyle du/dt}$ в точках сшивания ${\displaystyle t=0}$ , ${\displaystyle t=t_{1}}$ и ${\displaystyle t=T}$.

Дифференциальная проводимость ${\displaystyle g(u)}$ может быть задана и иным образом^[3].