Доведение до абсурда

Доведение до абсурда — это логический метод, основанный на выявлении противоречий в исходном утверждении. В формальной логике он доказывает ложность тезиса через введение отрицания, выводя из него противоречивые следствия. В отличие от метода от противного, этот подход не требует снятия двойного отрицания. Помимо строгих математических доказательств, метод применяется в риторике как софистический прием, где позиция оппонента искусственно усиливается для последующего опровержения.

Метод доведения до абсурда формализуется схемой введения отрицания, где из допущения утверждения А выводятся противоречащие друг другу следствия B и не-B, что доказывает ложность исходного утверждения А.

В математической логике истинность утверждения доказывается путем выведения противоречия из его отрицания, что позволяет сделать логический вывод о справедливости исходного тезиса.

Метод от противного использует правило снятия двойного отрицания, в то время как приведение к нелепости позволяет доказывать отрицательные утверждения без применения данного логического правила.

В риторике доведение до абсурда применяется как софистический приём пропаганды, заключающийся в искусственном усилении тезиса оппонента для его последующего легкого опровержения в ходе дискуссии.

Метод доведения до абсурда доказывает отсутствие рационального числа, квадрат которого равен 2, путем демонстрации логического противоречия с определением рационального числа в ходе математического рассуждения.

Доведение до абсурда (лат. reductio ad absurdum^[1]), Приведение к нелепости^[2], или апагогия^[3]^[4] («сведе́ние», др.-греч. Εις άτοπον απαγωγή) — логический приём, которым доказывается несостоятельность какого-нибудь мнения таким образом, что или в нём самом, или же в вытекающих из него следствиях обнаруживается противоречие.

В другом источнике указано что Reductio ad absurdum — опровержение положения путём выведения из него явно ложных и невозможных заключений^[1]. Апагогическое доказательство — то же, что reductio ad absurdum^[4].

Схемой доказательства приведением к нелепости называют схему, хорошо известную как схему введения отрицания $\left({\mathcal {\neg B}}\right)$ :

{\dfrac {\begin{matrix}\left[{\mathcal {A}}\right]&&\left[{\mathcal {A}}\right]\\{\mathcal {B}}&&{\mathcal {\neg B}}\end{matrix}}{\mathcal {\neg A}}}.

Она формализует метод доказательства приведением к нелепости.

Очень распространено заблуждение, согласно которому методом доказательства приведением к нелепости называют способ прямого рассуждения по схеме ${\dfrac {{\mathcal {A}}\Longrightarrow {\mathcal {B}}}{\neg {\mathcal {B}}\Longrightarrow \neg {\mathcal {A}}}}$ , которая в действительности традиционно называется правилом контрапозиции. На самом деле оно является более слабым, чем правило приведения к нелепости.

Замечание. Данная схема похожа на другую — на схему доказательства от противного. В связи с этим их часто путают. Однако несмотря на некоторое сходство, они имеют разную форму. Причём различаются они не только по форме, но и по существу, и различие это носит принципиальный характер.

Метод приведения к абсурду используется в математической логике в виде умозаключения^[5]. Если требуется доказать истинность некоторого утверждения $A$ , то образуют отрицание этого утверждения ${\overline {A}}$ и находят такое утверждение $B$ , что оказывается возможным одновременно доказать выводимости ${\overline {A}}\vdash B$ и ${\overline {A}}\vdash {\overline {B}}$ , то есть прийти к абсурду. На основании этого делают логическое заключение, что утверждение $A$ истинно.

Метод приведения к абсурду основан на тождественно истинном высказывании: $(({\overline {A}}\Rightarrow B)\land ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}))\Rightarrow A$ . Следовательно, формула $A$ выводима из формул ${\overline {A}}\Rightarrow B$ и ${\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}$ .

Идея необходимости различать эти методы в преподавании математики принадлежит Феликсу Александровичу Кабакову (1927–2008), который проводил эту идею в жизнь на протяжении сорока лет работы на математическом факультете МПГУ.

Перейдём к сопоставлению соответствующих методов доказательств.

Метод доказательства от противного принято считать известным методом доказательства, однако часто термин «доказательство от противного» используется в разных смыслах и применительно к разным методам доказательства. Чаще всего метод доказательства от противного путают с методом доказательства приведением к нелепости.

Буквами ${\mathcal {A}}$ и ${\mathcal {B}}$ будем обозначать произвольные предложения, а буквой ${\text{Г}}$ — произвольные конечные множества предложений. Будем использовать запись ${\text{Г}}\Rightarrow {\mathcal {A}}$ для обозначения того факта, что предложение ${\mathcal {A}}$ обосновано (доказано), исходя из предложений ${\text{Г}}$ , или ${\mathcal {A}}$ логически следует из ${\text{Г}}$ . Отношение $\Rightarrow$ между множествами предложений и предложениями будем называть отношением логического следования.

Метод доказательства от противного заключается в следующем. Пусть требуется доказать предложение ${\mathcal {A}}$ , исходя из некоторых предложений ${\text{Г}}$ (это могут быть ранее доказанные теоремы, аксиомы или допущения). Допускаем, что ${\mathcal {A}}$ неверно, т. е. допускаем ${\mathcal {\neg A}}$ , и путём рассуждений, исходя из ${\text{Г}}$ и ${\mathcal {\neg A}}$ , выводим противоречие, т. е. предложение ${\mathcal {B}}$ и его отрицание ${\mathcal {\neg B}}$ . После этого мы заключаем, что допущение неверно, а значит, верно предложение ${\mathcal {A}}$ . Наше рассуждение можно описать с помощью следующей неформальной схемы рассуждений:

{\dfrac {{\text{Г}},{\mathcal {\neg A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}{\text{ и Г}},{\mathcal {\neg A}}\Rightarrow {\mathcal {\neg B}}}{{\text{Г}}\Rightarrow {\mathcal {A}}}}.

Именно эту схему следует называть схемой доказательства от противного.

Ситуация меняется, когда нужно опровергнуть предложение ${\mathcal {A}}$ , другими словами, когда предложение, которое требуется доказать, имеет вид ${\mathcal {\neg A}}$ (не ${\mathcal {A}}$ ), т. е. является отрицательным предложением.

Например, такой вид имеет предложение: «Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2». Доказывается оно выведением противоречия из допущения, что существует рациональное число, квадрат которого равен 2.

Итак, для того чтобы доказать отрицательное утверждение ${\mathcal {\neg A}}$ , допускаем, что имеет место ${\mathcal {A}}$ , и выводим из этого некоторое противоречие: ${\mathcal {B}}$ и ${\mathcal {\neg B}}$ . Неформальная схема, описывающая такой ход рассуждений, выглядит так:

{\dfrac {{\text{Г}},{\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}{\text{ и Г}},{\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {\neg B}}}{{\text{Г}}\Rightarrow {\mathcal {\neg A}}}}.

Эту неформальную схему рассуждений принято называть схемой доказательства приведением к нелепости или приведением к абсурду (от лат. reductio ad absurdum). Еще раз отметим, что эта схема применима для доказательства отрицательных утверждений.

К сожалению, обычно в практике преподавания, а также в печатных изданиях — учебных, методических и научных — авторы не различают эти две схемы, два способа доказательства, чаще всего называя и тот и другой доказательством от противного.

Остановимся на причинах того, почему всё же следует различать эти схемы.

Во-первых, очевидно, что эти схемы отличаются чисто графически, а значит, рассуждения по этим схемам различаются по форме. Различия такого же характера, т. е. по крайней мере по форме, имеются между предложениями ${\mathcal {A}}$ и ${\mathcal {\neg {\neg A}}}$ (или между предложениями ${\mathcal {A\rightarrow B}}$ и ${\mathcal {\neg A}}\vee {\mathcal {B}}$ ). Даже если, находясь на классических позициях, мы считаем, что эти утверждения равносильны, то всё равно факт различия по форме является очевидным.

Однако такое различие может кому-то показаться недостаточным, неубедительным для того, чтобы затевать весь этот разговор. Естественно, возникают вопросы: не равносильны ли эти схемы; в чём выражается различие между ними в практике математических доказательств; это различие лишь по форме или также по существу?

Ответить на первый вопрос: «Равносильны ли схемы contradictio in contrarium и reductio ad absurdum?» можно на неформальном уровне, не переходя на путь построения формальной логической системы. Связь между данными схемами устанавливается следующим утверждением.

❗УТВЕРЖДЕНИЕ. Схема доказательства от противного

{\dfrac {{\text{Г}},{\mathcal {\neg A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}{\text{ и Г}},{\mathcal {\neg A}}\Rightarrow {\mathcal {\neg B}}}{{\text{Г}}\Rightarrow {\mathcal {A}}}}

равносильна совокупности двух систем:

доказательства приведением к нелепости

{\dfrac {{\text{Г}},{\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}{\text{ и Г}},{\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {\neg B}}}{{\text{Г}}\Rightarrow {\mathcal {\neg A}}}}

и снятия двойного отрицания

{\mathcal {\neg {\neg {A}}}}\Rightarrow {\mathcal {A}}.

Доказательство этого утверждения можно найти в книге ^[6].

Доказывая методом от противного, мы используем более сильные логические средства, чем когда доказываем приведением к нелепости. Это вызвано тем, что доказательство от противного существенно опирается на правило снятия двойного отрицания, а доказательство приведением к нелепости нет. Именно благодаря этому обстоятельству различие между схемами contradictio in contrarium и reductio ad absurdum — это различие не только по форме, но и по существу. Более того, это различие тесно связано с некоторыми проблемами оснований математики.

Дело в том, что такие логические законы, как закон исключённого третьего ${\mathcal {A\vee \neg A}}$ , закон снятия двойного отрицания ${\mathcal {\neg \neg A\supset A}}$ , схема

{\dfrac {{\text{Г}},{\mathcal {\neg A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}{\text{ и Г}},{\mathcal {\neg A}}\Rightarrow {\mathcal {\neg B}}}{{\text{Г}}\Rightarrow {\mathcal {A}}}}

доказательства от противного, приводят к неэффективным конструкциям и доказательствам в математике. В первую очередь это относится к доказательствам так называемых теорем существования, т. е. теорем вида: «Существует $x$ такой, что ${\mathcal {P}}\left(x\right)$ »: $\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$ , где ${\mathcal {P}}\left(x\right)$ — некоторое свойство ${\mathcal {P}}$ , которое выполняется для $x$ , причём $x$ пробегает некоторое множество известных объектов (чисел, формул, множеств формул, и т. п.).

Эффективным доказательством теоремы вида $\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$ называется построение объекта $x$ (или способа, позволяющего построить этот объект) и доказательство того, что этот объект действительно обладает требуемым свойством ${\mathcal {P}}$ . Доказательство теоремы существования, не удовлетворяющее этим условиям, считают неэффективным.

Типичным неэффективным доказательством теоремы существования является доказательство методом от противного. Действительно, пусть требуется доказать утверждение вида $\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$ — «существует объект $x$ , обладающий свойством ${\mathcal {P}}$ ». Допустим, что $\neg {\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)}$ . Путём рассуждений получаем некоторое противоречие: ${\mathcal {B}}$ и ${\mathcal {\neg B}}$ . Отсюда, в силу схемы reductio ad absurdum, делаем вывод, что допущение неверно, т. е. $\neg {\neg {\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)}}$ . Далее, снимая двойное отрицание, получим $\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$ и считаем доказательство завершённым. Однако такое доказательство не завершается построением хотя бы одного объекта с требуемым свойством, оно нисколько не приближает нас к построению примера такого $x$ , что ${\mathcal {P}}\left(x\right)$ , т. е. является неэффективным доказательством.

Примерами доказательств такого вида служат доказательства теорем: теоремы об ограниченности непрерывной на отрезке функции (т. е. о существовании верней и нижней границ непрерывной на отрезке функции); теоремы о существовании наибольшего и наименьшего значений у непрерывной на отрезке функции. Традиционное доказательство этих теорем методом от противного не содержит конструкции, позволяющей построить объект, о существовании которого идёт речь в теореме.

Неэффективные доказательства теорем существования признаются не всеми математиками. Для математиков, стоящих на традиционных классических позициях, характерным является признание без всяких ограничений закона исключённого третьего ${\mathcal {A\vee \neg A}}$ и закона снятия двойного отрицания ${\mathcal {\neg \neg A\supset A}}$ . Они пренебрегают различиями между утверждениями $\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$ и $\neg {\neg {\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)}}$ . Математики, не придерживающиеся классических взглядов (интуиционисты и конструктивисты), отрицают универсальность этих законов. Различия между утверждениями $\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$ и $\neg {\neg {\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)}}$ такие математики признают весьма существенными, считая утверждение $\neg {\neg {\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)}}$ , вообще говоря, более слабым, чем $\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$ . Доказательство от противного, с их точки зрения, также является неприемлемым, поскольку оно опирается на принцип снятия двойного отрицания.

Таким образом, различие между схемами contradictio in contrarium и reductio ad absurdum носит методологический характер, затрагивая проблему разного понимания утверждений о существовании в математике, а также связанные с этим другие проблемы оснований математики.

Идея построения основных разделов математики на эффективной основе, без использования закона снятия двойного отрицания и закона исключенного третьего восходит к интуиционистской концепции Л. Э. Я. Брауэра. Интуиционистское направление в математике бурно развивалось на протяжении всего XX в. Существенное развитие неклассические идеи получили в работах представителей школы конструктивного направления в математике во главе с А. А. Марковым — выдающимся советским математиком (1903-1979).

Пусть $m$ и $n$ — произвольные натуральные числа^[7].^[8] Сначала докажем приведением к нелепости такое утверждение.

Неверно, что $m$ и $n$ взаимно простые (т. е. ${\text{НОД}}\left(m,\,n\right)=1$ ) и ${\left({\dfrac {m}{n}}\right)}^{2}=2$ .

▷ Допустим, что ${\text{НОД}}\left(m,\,n\right)=1$ и ${\left({\dfrac {m}{n}}\right)}^{2}=2$ . Из того, что ${\left({\dfrac {m}{n}}\right)}^{2}=2$ , используя свойства делимости, можно вывести, что $m\;\vdots \;2$ и $n\;\vdots \;2$ , а значит, ${\text{НОД}}\left(m,\,n\right)\neq 1$ , что противоречит допущению ${\text{НОД}}\left(m,\,n\right)=1$ . Тем самым доказано: $\neg \left({\text{НОД}}\left(m,\,n\right)=1\;\And \;{\left({\dfrac {m}{n}}\right)}^{2}=2\right)$ . ◀

Если обозначить предложение ${\text{НОД}}\left(m,\,n\right)=1\;\And \;{\left({\dfrac {m}{n}}\right)}^{2}=2$ через ${\mathcal {A}}$ , а ${\text{НОД}}\left(m,\,n\right)=1$ — через ${\mathcal {B}}$ , станет ясно, что рассуждение проведено в соответствии с одноимённым правилом ${\dfrac {\begin{matrix}\left[{\mathcal {A}}\right]&&\left[{\mathcal {A}}\right]\\{\mathcal {B}}&&{\mathcal {\neg B}}\end{matrix}}{\mathcal {\neg A}}}$ .

Поскольку рассматриваемое предложение доказано для произвольных натуральных чисел $m$ и $n$ , считаем, что доказано $\forall m\,\forall n\;\neg \left({\text{НОД}}\left(m,\,n\right)=1\;\And \;{\left({\dfrac {m}{n}}\right)}^{2}=2\right)$ , а значит, и равносильное ему предложение $\neg \;\exists m\,\exists n\left({\text{НОД}}\left(m,\,n\right)=1\;\And \;{\left({\dfrac {m}{n}}\right)}^{2}=2\right)$ .

При использовании методов доказательства от противного и приведением к нелепости одно из предложений, составляющих противоречие, часто<br>является раннее доказанной теоремой, аксиомой или допущением. В таких случаях доказательство этого предложения (вспомогательное рассуждение)<br>вырождается в одно предложение (см., например, следующий пример).

Тем же методом докажем ещё одно утверждение.

Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.

▷ Допустим, что $\exists r\in \mathbb {Q} \left(r^{2}=2\right)$ . Тогда, в силу определения рационального числа и свойства дроби, $\exists m\,\exists n\left({\text{НОД}}\left(m,\,n\right)=1\;\And \;{\left({\dfrac {m}{n}}\right)}^{2}=2\right)$ , что противоречит раннее доказанному предложению $\neg \;\exists m\,\exists n\left({\text{НОД}}\left(m,\,n\right)=1\;\And \;{\left({\dfrac {m}{n}}\right)}^{2}=2\right)$ . Значит, доказано: $\neg \;\exists r\in \mathbb {Q} \left(r^{2}=2\right)$ . ◀

Теперь если обозначить через ${\mathcal {A}}$ предложение $\exists r\in \mathbb {Q} \left(r^{2}=2\right)$ , а через ${\mathcal {B}}$ — предложение $\exists m\,\exists n\left({\text{НОД}}\left(m,\,n\right)=1\;\And \;{\left({\dfrac {m}{n}}\right)}^{2}=2\right)$ , станет ясно, что последнее рассуждение проведено в соответствии с тем же правилом ${\dfrac {\begin{matrix}\left[{\mathcal {A}}\right]&&\left[{\mathcal {A}}\right]\\{\mathcal {B}}&&{\mathcal {\neg B}}\end{matrix}}{\mathcal {\neg A}}}$ .

Необходимо различать логическое безэмоциональное упрощение высказывания и приём пропаганды, когда софист опровергает мнение, искусственно усиленное до абсурда. Также абсурдность обсуждаемого высказывания должна оцениваться в контексте цели беседы (решаемой проблемы).

Примеры

Земля не может быть плоской; в противном случае мы бы обнаружили, что люди падают с края. Пример утверждает, что отрицание предпосылки привело бы к нелепому выводу вопреки свидетельству наших чувств.
Нет наименьшего положительного рационального числа, потому что если бы оно было, то его можно было бы разделить на два, чтобы получить меньшее. Это математическое доказательство от противоречия, в котором утверждается, что отрицание предпосылки приведет к логическому противоречию (существует «наименьшее» число, и все же есть число меньше его).
В 2011 году власти Австрии разрешили пастафарианину Нико Альму сфотографироваться на водительское удостоверение с дуршлагом на голове как религиозным головным убором. Нико Альм подал соответствующее заявление три года назад, тем самым используя аргумент reductio ad absurdum (сведение к абсурду) против разрешения мусульманам фотографироваться на документы в хиджабах. Так как фотографии с головными уборами разрешены в Австрии только из религиозных побуждений, он обосновал свой поступок принадлежностью к пастафарианству^[9]. «Моя главная цель — заставить людей задуматься над адекватностью системы», — заявил он^[10].

↑ ¹ ² Reductio ad absurdum // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
↑ Абсурд // Энциклопедический словарь Гранат: В 58 томах. — М., 1910—1948.
↑ Апагогия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
↑ ¹ ² Апагогия // Малый энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона. — 2-е изд., вновь перераб. и значит. доп. Т. 1-2. — СПб., 1907—1909.
↑ Эдельман, 1975, с. 49.
↑ Тимофеева И. Л. Некоторые замечания о методе доказательства от противного //Математика в школе — 1994, № 3. С. 36-38.
↑ Иногда эти слова понимают неверно. Например, ни одно из чисел 7, 28, 157 и, вообще, никакое конкретное число не является произвольным. Произвольное число — это буква, обозначающая произвольным образом зафиксированное число, которой нельзя придавать значения.
↑ Это предложение не является допущением.
↑ Австриец добился возможности сняться на права в дуршлаге — по религиозным убеждениям Архивная копия от 12 августа 2013 на Wayback Machine — NEWSru.com, 14 июля 2011 г.
↑ Вера в дуршлаг победила закон — Metro Архивная копия от 12 января 2012 на Wayback Machine

Reductio ad absurdum // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Апагогия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Ад-абсурдум // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Эдельман С. Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
Тимофеева И. Л. Математическая логика. Курс лекций: Учеб. пособие для студентов вузов / Ответств. ред. Н. В. Валуева. — 2-е изд., перераб. — М. : КДУ, 2007. — 304 с. — 1000 экз. — ББК 22.12я73. — УДК 510.6(075.8)^(G). — ISBN 978-5-98227-307-9.
Тимофеева И. Л. Вводный курс математики: учебное пособие для студентов учреждений высш. пед. проф. образования / И. Л. Тимофеева, И. Е. Сергеева, Е. В. Лукьянова ; под ред. В. Л. Матросова. — М. : Издательский центр «Академия», 2011. — 240 с. — 1000 экз. — ББК 22.1я73. — УДК 51 (075.8)^(G). — ISBN 978-5-7695-7960-8.
Клини С. К. Введение в метаматематику. Пер. с англ. / под ред. В. А. Успенского. — М. : Издательство иностранной литературы, 1957. — 528 с.

[автоссылка1-1] ¹ ² Reductio ad absurdum // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

[2] Абсурд // Энциклопедический словарь Гранат: В 58 томах. — М., 1910—1948.

[3] Апагогия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

[автоссылка2-4] ¹ ² Апагогия // Малый энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона. — 2-е изд., вновь перераб. и значит. доп. Т. 1-2. — СПб., 1907—1909.

[_e1350abcb2fb82b1-5] Эдельман, 1975, с. 49.

[док-6] Тимофеева И. Л. Некоторые замечания о методе доказательства от противного //Математика в школе — 1994, № 3. С. 36-38.

[7] Иногда эти слова понимают неверно. Например, ни одно из чисел 7, 28, 157 и, вообще, никакое конкретное число не является произвольным. Произвольное число — это буква, обозначающая произвольным образом зафиксированное число, которой нельзя придавать значения.

[8] Это предложение не является допущением.

[9] Австриец добился возможности сняться на права в дуршлаге — по религиозным убеждениям Архивная копия от 12 августа 2013 на Wayback Machine — NEWSru.com, 14 июля 2011 г.

[10] Вера в дуршлаг победила закон — Metro Архивная копия от 12 января 2012 на Wayback Machine

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

Доведение до абсурда

Схема доказательства

В математической логике

Сопоставление методов доказательства от противного и приведением к нелепости

Примеры

Риторический приём

Примеры

См. также

Примечания

Литература

Дополнительно по теме

Категории