Японская теорема о вписанном четырёхугольнике

Японская теорема о вписанном четырёхугольнике утверждает, что центры окружностей, вписанных в определённые треугольники внутри вписанного в окружность четырёхугольника, являются вершинами прямоугольника.

Разбиение произвольного вписанного четырёхугольника диагоналями даёт четыре перекрывающих друг друга треугольника (каждая диагональ создаёт два треугольника). Центры вписанных в эти треугольники окружностей образуют прямоугольник.

В частности, пусть: □ABCD — произвольный вписанный четырёхугольник и пусть: M₁, M₂, M₃, M₄ — центры вписанных в треугольники △ABD, △ABC, △BCD, △ACD окружностей. Тогда четырёхугольник, образованный центрами M₁, M₂, M₃, M₄, является прямоугольником.

${\displaystyle \angle {AM_{2}B}=180^{\circ }-\angle {BAC}/2-\angle {ABC}/2=90^{\circ }+\angle {ACB}/2}$ (поскольку ${\displaystyle AM_{2}}$ является биссектрисой угла ${\displaystyle \angle {BAC}}$, а ${\displaystyle BM_{2}}$ является биссектрисой угла ${\displaystyle \angle {ABC}}$).

Аналогично получаем:

${\displaystyle \angle {AM_{1}B}=180^{\circ }-\angle {ABD}/2-\angle {BAD}/2=90^{\circ }+\angle {BDA}/2}$.

Поскольку четырёхугольник ${\displaystyle ABCD}$ вписанный, имеем ${\displaystyle \angle {ADB}=\angle {ACB}}$, откуда следует, что четырёхугольник ${\displaystyle \angle {AM_{1}M_{2}B}}$ тоже вписан в окружность, так что получаем:

${\displaystyle \angle {M_{1}M_{2}B}=180^{\circ }-\angle {BAM_{1}}=180^{\circ }-\angle {A}/2}$.

Аналогично получаем: ${\displaystyle \angle {BM_{2}M_{3}}=180^{\circ }-\angle {C}/2}$.

А следовательно, ${\displaystyle \angle {M_{1}M_{2}M_{3}}=360^{\circ }-(\angle {M_{1}M_{2}B}+\angle {BM_{2}M_{3}})=(\angle {A}+\angle {C})/2=180^{\circ }/2=90^{\circ }}$.

Тем же самым способом доказываем для других углов. Получаем, что все четыре угла четырёхугольника прямые. Теорема доказана.

Заметим, что доказательство этой теоремы легко обобщается до доказательства японской теоремы о вписанных многоугольниках (Japanese theorem for cyclic polygons).

Из случая четырёхугольника немедленно вытекает доказательство для общего вписанного многоугольника (по индукции по числу треугольников в разбиении многоугольника).

Для вписанного четырёхугольника японская теорема о вписанном четырёхугольнике является составной частью более сложного утверждения:

• во вписанном четырёхугольнике ABCD центры вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA и DAB являются вершинами прямоугольника, ортоцентры тех же четырёх треугольников являются вершинами четырёхугольника, равного ABCD, центроиды этих четырёх треугольников являются вершинами другого вписанного четырёхугольника^[2].