Формула Карно

Пусть D — центр описанной окружности треугольника ABC.

Тогда сумма расстояний от D до сторон треугольника ABC, взятых со знаком минус, когда высота из D на сторону целиком лежит вне треугольника, будет равна ${\displaystyle R+r}$, где r — радиус вписанной окружности, а R — описанной.

В частности

${\displaystyle \pm DF\pm DG\pm DH=R+r,}$

при правильном выборе знаков^[1]:p.83.

Формула Карно^[2]:

${\displaystyle R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2}}(d_{A}+d_{B}+d_{C}),}$

где ${\displaystyle k_{a},k_{b},k_{c}}$ — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон ${\displaystyle a,b,c}$ треугольника (они берутся со знаком в зависимости от того на какой стороне находится центр), а ${\displaystyle d_{A},d_{B},d_{C}}$ — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин ${\displaystyle A,B,C}$ треугольника.

Расстояние от центра описанной окружности например до стороны ${\displaystyle a}$ треугольника равно:

${\displaystyle k_{a}=a/(2\mathop {\rm {tg}} A);}$

расстояние от ортоцентра например до вершины ${\displaystyle A}$ треугольника равно:

${\displaystyle d_{A}=a/(\mathop {\rm {tg}} A).}$

• В доказательстве теоремы используется теорема Птолемея.
• Формулу Карно часто называют теоремой Карно^[3].

• Японская теорема о вписанном многоугольнике:^[3] Если вписанный ${\displaystyle n}$-угольник разрезать на ${\displaystyle n-2}$ треугольникa непересекающимися диагоналями, то сумма радиусов их вписанных окружностей не зависит от способа разрезания.
  • Более того, выпуклый ${\displaystyle n}$-угольник является вписанным, если это условие соблюдается.