Эффект де Хааза — ван Альфена

Осцилляционная зависимость магнитной восприимчивости металла ${\displaystyle \chi \left(H\right)}$  от магнитного поля ${\displaystyle H}$, связанная с магнитным квантованием энергии орбитального движения носителей заряда, теоретически была предсказана Ландау в работе «Диамагнетизм металлов», опубликованной в 1930^[1]. В этом же году независимо появилось сообщение де Гааза и ван Альфена «Note on the dependence of the susceptibility of diamagnetic metal on the field» о наблюдении осциллирующей зависимость ${\displaystyle \chi \left(H\right)}$ при изменении магнитного поля в монокристаллах висмута ^[2]. Эффект получил название по именам авторов экспериментального открытия. Со временем осцилляции де Гааза – ван Альфена (дГвА) были обнаружены во многих металлах ^[3].

Впервые на возможность изучения геометрии поверхности Ферми (ПФ) ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{F}}$ электронов проводимости по периоду осцилляций дГвА обратил внимание Онсагер в 1952 г. в статье «Interpretation of de Haas van Alphen effect»^[4]. Онсагер, исходя из правила квантования Бора — Зоммерфельда,

${\displaystyle S\left(\varepsilon ,{{p}_{H}}\right)=2\pi \hbar \left(n+\gamma \right){\frac {eH}{c}},}$

записал связь между номерами максимумов на осцилляционной зависимости, которым соответствуют значения поля ${\displaystyle H_{n}}$, и экстремальными сечениями ${\displaystyle {S}_{m}(\varepsilon _{F})}$ ПФ плоскостями ${\displaystyle {p_{H}}=const}$, где ${\displaystyle p_{H}}$ — проекция импульса электрона на направление магнитного поля, ${\displaystyle \gamma <1}$^[4][5],

${\displaystyle n+\gamma =\left(hc/e\right){S_{m}}/{{H}_{n}}.\qquad \qquad (1)}$

Строгое решение в квазиклассическом приближении задачи о зависимости магнитной восприимчивости металла ${\displaystyle \chi \left(H\right)}$ от величины магнитного поля при наиболее общих предположениях о законе дисперсии электронов проводимости было получено И. М. Лифшицем и А.М. Косевичем в 1954 ^[6]. Общая формула, которая описывает осцилляции магнитной восприимчивости сейчас известна в научной литературе, как формула Лифшица — Косевича. В том же 1954 году в работе И. М. Лифшица и А. В. Погорелова^[7], было показано, что если известны все экстремальные сечения произвольной выпуклой ПФ, то можно однозначно определить ее форму.^[8]

Авторы теории^[5][6] нашли осциллирующую часть магнитного момента вдоль магнитного поля:

${\displaystyle {{M}_{osc}}\simeq -A_{LK}\sin \left({\frac {c}{e\hbar H}}{{S}_{m}}\mp {\frac {\pi }{4}}-2\pi \gamma \right)\cos \left(\pi {\frac {m_{c}}{{m}_{0}}}\right);}$

где амплитуда равна

${\displaystyle A_{LK}={\frac {V}{\pi ^{2}{\sqrt {2\pi }}\hbar ^{3}}}\left({\frac {e\hbar }{c}}\right)^{3/2}{\frac {S_{m}{\sqrt {H}}}{{{\left|{}^{{{\partial }^{2}}{{S}_{m}}}\diagup \!\!{}_{\partial p_{H}^{2}}\;\right|}^{1/2}}\partial {{S}_{m}}/\partial {{\varepsilon }_{F}}}}\Psi \left({\frac {2\pi ^{2}T}{\hbar \omega _{c}}}\right)}$

при условиях,

${\displaystyle T\ll {\frac {\hbar eH}{{{m}_{c}}c}}\ll {{\varepsilon }_{F}};\quad {\frac {e\hbar H}{2{{m}_{0}}c}}\ll {{\varepsilon }_{F}};}$

где ${\displaystyle V}$ — объём металла, ${\displaystyle \Psi \left(z\right)=z/\operatorname {sh} z}$, ${\displaystyle T}$ — температура, ${\displaystyle m_{0}}$ — масса свободного электрона, ${\displaystyle \partial {{S}_{m}}/\partial {{p}_{H}}=0}$, постоянная Больцмана ${\displaystyle k_{B}=1}$. Температурная зависимость амплитуды осцилляций позволяет найти значение циклотронной массы электрона ${\displaystyle {{m}_{c}}={\frac {1}{2\pi }}{\frac {\partial {{S}_{m}}}{\partial {{\varepsilon }_{F}}}}}$, ${\displaystyle {{\omega }_{c}}={\frac {eH}{{{m}_{c}}c}}}$ - циклотронная частота. Осциллирующая часть магнитной восприимчивости ${\displaystyle {{\chi }_{osc}}={{dM}_{osc}}/dH}$.

Объясняется квантованием движения электронов в магнитном поле. При абсолютном нуле температуры в отсутствие внешнего магнитного поля квазисвободные электроны в металле в пространстве импульсов занимают сферу (поверхность Ферми). При появлении внешнего магнитного поля движение квазисвободных электронов в металле становится квантованным в плоскости, нормальной к оси поля, а в направлении поля квантование отсутствует. Таким образом, под воздействием внешнего магнитного поля сфера Ферми превращается в ряд концентрических цилиндров, оси которых параллельны внешнему магнитному полю, а поперечные сечения которых равны ${\displaystyle {\frac {\pi eH\hbar }{c}},{\frac {3\pi eH\hbar }{c}}}$. При возрастании напряженности внешнего магнитного поля ${\displaystyle H}$ цилиндры расширяются и высота наружного цилиндра уменьшается до нуля. Затем его место занимает следующий цилиндр и так далее. Таким образом, средняя энергия электронов периодически зависит от напряженности магнитного поля, что вызывает периодическое изменение магнитной восприимчивости ${\displaystyle \chi =-{\frac {-d^{2}{\bar {E}}}{dH^{2}}}}$^[9].