В 1997 году стал кандидатом медицинских наук, защитив диссертацию на тему «Особенности системных и мозговых гемодинамических реакций во время общей анестезии у больных с объёмными процессами головного мозга» (специальности: 14.00.28 — нейрохирургия, 14.00.37 — анестезиология и реаниматология)[8].
В 2007 году защитил докторскую диссертацию на тему «Дифференцированный подход при формировании стратегии и тактики интенсивной терапии пострадавшим с тяжёлой черепно-мозговой травмой» (специальность: 14.01.20 — анестезиология и реаниматология)[9].
Алексей Щёголев — председатель Учёного совета «Д 215.002.07» при ВМА им. С. М. Кирова[10].
Является заместителем главного редактора научно-практического журнала «Вестник интенсивной терапии имени А. И. Салтанова»[11]. Состоит в редакционных коллегиях изданий «Анестезиология и реаниматология», «Вестник анестезиологии и реаниматологии» и др[11][12][13].
Возглавляет региональную общественную организацию «Научно-практическое общество анестезиологов и реаниматологов Санкт-Петербурга» в должности президента[2]. Является членом президиума Ассоциации акушерских анестезиологов-реаниматологов, а также состоит в ряде других профессиональных организациях[14].
Под авторством/соавторством Щёголева — монографии, учебники, а также публикации в российских и международных рецензируемых научных изданиях. В том числе:
Бонитенко Е. Ю., Щёголев А. В., Васильев С. А., Белякова Н. А., Кузьмин А. И., Соколова Е. Д. Бронхиальный лаваж в лечении тяжёлой бронхолёгочной патологии у взрослых. Подходы к классификации // НМП. 2024. № 1. 88—98.
Черных О. А., Лахин Р. Е., Щёголев А. В. Оценка тревоги и депрессии в периоперационном периоде у женщин репродуктивного возраста при проведении регионарной анестезии // НМП. 2024. № 1. 56—63.
Цыганков К. А., Арсентьев Л. В., Щёголев А. В., Андреенко А. А. Внедрение контрольного листа «Организация рабочего места анестезиолога» при обучении ординаторов по специальности «Анестезиология и реаниматология» // Вестник анестезиологии и реаниматологии. 2023. № 2. 91—95.
Цыганков К. А., Лахин Р. Е., Щёголев А. В., Жданов А. Д., Климов А. Г. Оценка влияния кислородно-гелиевой смеси на выраженность кашля у пациентов с коронавирусной инфекцией // Вестник анестезиологии и реаниматологии. 2022. № 1. 18—24.
Степанов В. А., Строгонов А. И., Ермолаев В. В. Оценка эффективности передней блокады седалищного нерва под ультразвуковым контролем у пациентов с аппаратами внешней фиксации при повторной хирургической обработке повреждений нижних конечностей // Universum: медицина и фармакология. 2024. № 2 (107). 58—62.
Ляпустин С. Б., Сулимова Н. А. Использование ранней пункционно-дилатационной трахеостомии при переводе на искусственную вентиляцию лёгких пациентов с острым нарушением мозгового кровообращения и новой коронавирусной инфекцией COVID-19 // Пермский медицинский журнал. 2021. № 5. 49—54.
Лубнин А. Юбилей А. В. Щёголева. Заметки учеников // Вестник интенсивной терапии имени А. И. Салтанова. 2018. 3. 102.
Юбилей А. В. Щёголева. Заметки друга // Вестник интенсивной терапии имени А. И. Салтанова. 2018. 3. 101.