Шютц начал свою профессиональную карьеру в 2003 году, в молодёжной команде TSV Эрдинг. Затем он перешёл в молодёжную команду клуба Адлер Мангейм. В первом же сезоне клуб выиграл титул. В сезоне 2004/05 перешёл в EV Landshut, клуб 2-й Бундеслиги. В сезоне 2005/06 планировалось, что Феликс будет играть в команде первой немецкой лиги ЕРК Ингольштадт, однако Шютц решил испытать себя Северной Америке в Главной юниорской хоккейной лиги Квебека (QMJHL) в клубе Saint John Sea Dogs. У него получился хороший сезон, и он превратился в одного из лучших исполнителей в команде. В 2006 году перешёл в команду Foreurs de Val-d’Or. В 2006 году на драфте НХЛ Баффало Сейбрз был на сто семнадцатый Место в четвёртом раунде. Но в основную команду не попал и в 2007 году решил вернуться на родину в клуб ЕРК Ингольштадт. В мае 2008 года подписал 3-летний контракт с Баффало Сейбрз и играл два сезона в фарм-клубе команды Портленд Пайретс. После тренировочного лагеря в 2010 году снова не получил место в основе Баффало Сейбрз, Шюц решил расторгнуть контракт вернуться в Германию в клуб ЕРК Ингольштадт. В 2011 году перешёл Кёльнер Хайе. 20 июля 2013 года подписал контракт с российским клубом «Адмирал» из Владивостока[5]. 18 сентября 2014 года подписал двухлетний контракт с немецкой командой Ред Булл Мюнхен.
В период с 2016 по 2021 год Шютц выступал за ряд европейских клубов. После сезона 2016/17 в шведском «Рёгле» он вернулся в Германию, где на протяжении двух сезонов играл за «Кёльнер Хайе» (в сезоне 2017/18 стал лучшим бомбардиром команды). В сезоне 2019/20, после короткого выступления за шведский «Оскарсхамн», нападающий перешёл в «Штраубинг Тайгерс». Свой последний сезон 2020/21 Шютц начинал во второй лиге за «ЕВ Ландсхут», после чего в декабре 2020 года пополнил состав команды «Адлер Мангейм». В августе 2021 года Феликс Шютц официально объявил о завершении игровой карьеры[6][3].
В составе национальной сборной Германии участник чемпионатов мира 2010, 2011 и 2013 годов. В составе молодёжной сборной Германии участник чемпионатов мира 2005, 2006 и 2007 годов. В составе юниорской сборной Германии участник чемпионата мира 2005 года.
18 октября 2022 года Шютц начал тренерскую карьеру, заняв пост главного тренера клуба «Эрдинг Гладиаторс»[4]. В мае 2025 года он был назначен главным тренером клуба «Зельбер Вёльфе», однако 14 февраля 2026 года был уволен с этого поста[3][7].
Феликс Шютц.svg){kind=small}
