Частота среза

Фильтр нижних частот (ФНЧ) 1-го порядка имеет комплексную передаточную функцию ${\displaystyle H(s)}$ вида:

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+\alpha s}},}$

где ${\displaystyle s}$ — комплексная переменная преобразования Лапласа;

${\displaystyle \alpha }$ — параметр фильтра, константа.

В случае подачи на вход фильтра гармонического сигнала с частотой ${\displaystyle \omega }$ в установившемся режиме комплексная передаточная функция имеет вид:

${\displaystyle H(j\omega )={\frac {1}{1+\alpha j\omega }},}$

где буквой ${\displaystyle j}$ обозначена мнимая единица;

${\displaystyle \omega }$ — угловая частота.

Эта функция имеет единственный полюс (частота, при которой знаменатель дроби обращается в 0) на частоте ${\displaystyle \omega _{c}=2\pi f_{c}=1/{\alpha },}$ ${\displaystyle f_{c}}$ — частота среза.

Модуль коэффициента передачи этого ФНЧ в зависимости от частоты (эту функцию принято называть амплитудно-частотной характеристикой) имеет вид:

${\displaystyle \left|H(j\omega )\right|=\left|{\frac {1}{1+\alpha j\omega }}\right|={\sqrt {\frac {1}{1+\alpha ^{2}\omega ^{2}}}}.}$

Модуль коэффициента передачи на частоте полюса:

${\displaystyle \left|H(j\omega _{\mathrm {c} })\right|={\sqrt {\frac {1}{1+\alpha ^{2}\omega _{\mathrm {c} }^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}.}$

То есть, на частоте полюса коэффициент передачи уменьшается в ${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$ В рассмотренном примере частота среза равна частоте полюса.