Цао Хуайдун

В 1982 году Ричард Гамильтон ввёл понятие потока Риччи, доказав новую теорему о геометрии трёхмерных многообразий^[1]. Цао, который только начал работу над докторской диссертацией под руководством Яу Шинтуна, стал изучать поток Риччи в контексте келеровых многообразий. В своей диссертации, опубликованной в 1985 году, он показал, что оценки Яу в решении гипотезы Калаби могут быть адаптированы для потока Келера — Риччи для доказательства теоремы сходимости, аналогичной оригинальному результату Гамильтона^[2]. Это также предоставило параболическую альтернативу методу непрерывности Яу в доказательстве гипотезы Калаби, хотя значительная часть технической работы в доказательствах схожа.

Следуя предложению Яу о том, что поток Риччи может быть использован для доказательства гипотезы геометризации Уильяма Тёрстона, Гамильтон развивал эту теорию в течение следующих двух десятилетий. В 2002 и 2003 годах Григорий Перельман опубликовал две статьи на arXiv, в которых представил доказательство гипотезы геометризации с помощью потока Риччи. Кроме того, он опубликовал третью статью, в которой предложил более короткий путь к доказательству гипотезы Пуанкаре, для которого результаты второй половины второй статьи не требовались. Статьи Перельмана были сразу признаны как содержащие новые результаты в теории потока Риччи, хотя многие математики не смогли полностью понять технические детали некоторых сложных или кратких разделов его работы.

Брюс Клайнер из Йельского университета и Джон Лотт из Мичиганского университета начали публиковать аннотации к первым двум статьям Перельмана в интернете в 2003 году, дополняя и изменяя их в течение следующих нескольких лет. Результаты этой работы были опубликованы в научном журнале в 2008 году^[3]. Цао сотрудничал с Чжу Сипином из Университета Сунь Ятсена, опубликовав в 2006 году изложение работы Гамильтона и первых двух статей Перельмана, объясняя их в контексте математической литературы по геометрическому анализу. Джон Морган из Колумбийского университета и Тянь Ган из Принстонского университета опубликовали книгу в 2007 году, посвящённую первой и третьей статьям Перельмана, а также первой половине второй статьи; позже они выпустили вторую книгу, посвящённую второй половине второй статьи Перельмана^[4][5].

В аннотации к статье Цао и Чжу говорится:

а введение начинается словами:

Некоторые наблюдатели сочли, что Цао и Чжу преувеличивают значение своей статьи. Кроме того, было обнаружено, что несколько страниц статьи Цао и Чжу похожи на страницы из статьи Клайнера и Лотта, что привело к обвинениям в плагиате. Цао и Чжу заявили, что в 2003 году они делали заметки по этому разделу работы Перельмана из ранних публикаций Клайнера и Лотта, и из-за случайной оплошности не осознали источник заметок при написании своей статьи в 2005 году. Они выпустили исправленную версию своей статьи на arXiv в декабре 2006 года.

Градиентный солитон Риччи состоит из риманова многообразия (M, g) и функции f на M, такой что Ric^g + Hess^g f кратно g. В частном случае, когда M имеет комплексную структуру, g является келеровой метрикой, а градиент f — голоморфным векторным полем, возникает градиентный солитон Келера — Риччи. Солитоны Риччи иногда рассматриваются как обобщения метрик Эйнштейна, которые соответствуют случаю f = 0. Важность градиентных солитонов Риччи для теории потока Риччи была впервые отмечена Гамильтоном во влиятельной статье 1995 года^[6]. В анализе Перельмана особенно важны градиентные солитоны Риччи, где постоянный множитель положителен; они называются сжимающимися градиентными солитонами Риччи. Обзор Цао по солитонам Риччи 2010 года широко цитируется.

В 1996 году Цао изучал градиентные солитоны Келера — Риччи с использованием анзаца вращательной симметрии, благодаря чему уравнение солитона Риччи сводится к анализу обыкновенных дифференциальных уравнений. Он показал, что для каждого положительного n существует стационарный градиентный солитон Келера — Риччи на ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, который является вращательно-симметричным, полным и имеет положительную кривизну. В случае, когда n равно 1, это восстанавливает солитон-сигару Гамильтона. Цао также показал существование стационарных градиентных солитонов Келера — Риччи на тотальном пространстве канонического расслоения над комплексным проективным пространством, которое является полным, вращательно-симметричным и имеет неотрицательную кривизну. Он построил замкнутые примеры сжимающихся градиентных солитонов Келера — Риччи на проективизации некоторых линейных расслоений над комплексным проективным пространством; эти примеры независимо рассматривались Норихито Коисо^[7]. Анзац Цао и Коисо получил дальнейшее развитие во влиятельной статье Михаила Фельдмана, Тома Илманена и Дэна Кнопфа, а примеры Цао, Коисо и Фельдмана — Илманена — Кнопфа были объединены и расширены в 2011 году Эндрю Дансером и Маккензи Вангом^[8][9].

Используя аргумент Перельмана, Цао и Дэтан Чжоу показали, что полные сжимающиеся градиентные солитоны Риччи имеют гауссов характер, поскольку для любой заданной точки p многообразия M функция f должна расти квадратично по отношению к функции расстояния до p. Кроме того, объём геодезических шаров вокруг p может расти не быстрее полиномиального по отношению к их радиусу. Эти оценки делают возможным проведение интегрального анализа полных сжимающихся градиентных солитонов Риччи, в частности, позволяя использовать e^−f в качестве весовой функции.