Формула произведения экспонент

Первым шагом выбирается «нулевая конфигурация» — состояние, в котором все суставные параметры принимают нулевые значения. Матрица размера 4×4 ${\displaystyle g_{st}(0)}$ описывает преобразование из базовой системы координат к системе инструмента именно в этой конфигурации. Это аффинное преобразование включает 3×3 матрицу вращения R и 1×3 вектор смещения p; для построения квадратной матрицы 4×4 добавляется последняя строка и столбец:

${\displaystyle g_{st}(0)=\left[{\begin{array}{cc}R&p\\0&1\\\end{array}}\right]}$

Для каждого из N сочленений выполняются следующие действия с целью получения соответствующего аффинного преобразования.

Для каждого звена цепи в нулевой конфигурации выбирается начальная точка q и ось действия относительно базовой системы координат. Для поступательных сочленений осью действия v является вектор вдоль периода перемещения; для вращательных сочленений — вектор ω, ортогональный оси вращения.

Движение каждого сочленения описывается вектором-твистом размерности 1×6.

• Для вращательного сочленения:

${\displaystyle \xi _{i}=\left({\begin{array}{c}\omega _{i}\\-\omega _{i}\times q_{i}\\\end{array}}\right).}$

• Для поступательного сочленения:

${\displaystyle \xi _{i}=\left({\begin{array}{c}0\\v_{i}\\\end{array}}\right).}$

Таким образом, твист состоит из двух компонент (по 1×3): вдоль оси поступательного движения (${\displaystyle v}$) и вокруг оси вращения (ω): ${\displaystyle \xi =\left({\begin{array}{c}\omega \\v\\\end{array}}\right).}$

Вектор ω размерности 3×1 записывается в матричном представлении векторного произведения: ${\displaystyle {\hat {\omega }}=\left[{\begin{array}{ccc}0&-\omega _{3}&\omega _{2}\\\omega _{3}&0&-\omega _{1}\\-\omega _{2}&\omega _{1}&0\\\end{array}}\right].}$

В соответствии с формулой Родрига вращения, матрица вращения по заданной оси частичного твиста: ${\displaystyle e^{{\hat {\omega }}\theta }=I+{\hat {\omega }}\sin {\theta }+{\hat {\omega }}^{2}(1-\cos {\theta }).}$

Вектор смещения размерности 3×1 находится через компоненты твиста: ${\displaystyle t=(I-e^{{\hat {\omega }}\theta })(\omega \times v)+\omega \omega ^{T}v\theta }$ где I — 3×3 единичная матрица^[3].

Для каждого сочленения i формируется матрица экспоненты ${\displaystyle e^{{\hat {\xi }}_{i}\theta _{i}}}$ для заданного суставного параметра ${\displaystyle \theta }$, объединяя матрицу вращения и вектор смещения в расширенную матрицу 4×4: ${\displaystyle e^{{\hat {\xi }}_{i}\theta _{i}}=\left[{\begin{array}{cc}e^{{\hat {\omega }}\theta }&t\\0&1\\\end{array}}\right]}$

Искомое преобразование базы к инструменту в произвольной конфигурации определяется как произведение матриц экспонент: ${\displaystyle g_{d}(\theta _{i},...,\theta _{n})=e^{{\hat {\xi }}_{1}\theta _{1}}\cdots e^{{\hat {\xi }}_{n}\theta _{n}}g_{st}(0).}$

Метод произведения экспонент оперирует только двумя системами отсчёта: базовой S и инструментальной T. Для задания параметров Денавита — Хартенберга необходимо тщательное расположение промежуточных систем, позволяющее сократить твисты до четырёх параметров (вместо шести). В методе POE твисты каждого сочленения определяются независимо, без учёта соседних звеньев в цепи, что упрощает их построение и последующую обработку на ЭВМ^[3]. Кроме того, поступательные и вращательные сочленения в POE трактуются одинаково, тогда как при параметризации Денавита — Хартенберга они обрабатываются раздельно. Существуют также различные школы и варианты выбора систем отсчёта при использовании параметров DH.

Однозначного взаимного соответствия между твистовыми параметрами двух методов не существует, однако алгоритмические подходы по преобразованию POE в параметры Денавита — Хартенберга были продемонстрированы^[5].