Параметры Денавита — Хартенберга

Одна из самых широко используемых конвенций для выбора систем отсчёта в робототехнических задачах — это конвенция Денавита — Хартенберга (D-H), предложенная Жаком Денавитом и Ричардом Хартенбергом. В этой системе координатные системы привязываются к соединениям между двумя звеньями так, что одно преобразование ассоциируется с суставом ([Z], ось вращения), а второе — со звеном ([X]). Последовательные преобразования вдоль последовательности из n звеньев составляют систему кинематических уравнений робота:

${\displaystyle [T]=[Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}][X_{n}]\!}$

где [T] — преобразование, описывающее положение и ориентацию концевого звена.

Для вычисления преобразований [Z] и [X], суставы моделируются либо как вращательные, либо как поступательные — каждая ось сустава определяется уникальной прямой S в пространстве, которая задаёт направление движения звеньев. Типичный серийный робот можно охарактеризовать последовательностью из шести прямых S_i (i = 1, 2, ..., 6), по одной на каждый сустав робота. Для каждой последовательной пары осей S_i и S_i+1 существует общая нормаль A_i,i+1. Шесть осей S_i и пять общих нормалей A_i,i+1 формируют кинематический скелет типичного шестиосевого манипулятора. По конвенции Денавита — Хартенберга, оси z приписываются осям суставов S_i, а оси x — общим нормалям A_i,i+1.

Данная конвенция позволяет задать движение звеньев вокруг общей оси сустава S_i посредством винтового преобразования:

${\displaystyle [Z_{i}]={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}&0&0\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}&0&0\\0&0&1&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

где θ_i — угол вращения, а d_i — поступательное перемещение вдоль оси z. Каждый из этих параметров может быть постоянным либо изменяться в зависимости от конструкции робота. Размеры звена определяются винтовым преобразованием вдоль общей нормали A_i,i+1 между суставами S_i и S_i+1, что описывается матрицей:

${\displaystyle [X_{i}]={\begin{bmatrix}1&0&0&r_{i,i+1}\\0&\cos \alpha _{i,i+1}&-\sin \alpha _{i,i+1}&0\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},}$

где α_i,i+1 и r_i,i+1 задают геометрию звена: угол и расстояние вдоль оси X.

Итак, система координат строится по следующим правилам:

1. Ось z направлена вдоль оси сустава.
2. Ось x параллельна общей нормали: ${\displaystyle x_{n}=z_{n}\times z_{n-1}}$ (или в сторону от z_n–1).
   Если нет однозначной общей нормали (параллельные оси z), параметр d становится свободным. Направление x_n — от z_n–1 к z_n.
3. Ось y определяется по правилу правой тройки: x, y, z образуют правую систему координат.

Четыре параметра классической D-H-конвенции — θ_i, d_i, a_i, α_i (выделены красным). С их помощью возможно перейти от одной реперной системы к другой

Винтовое преобразование обычно представляют как произведение чистого сдвига вдоль прямой и чистого вращения вокруг неё^[9][10], то есть:

${\displaystyle [Z_{i}]=\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})\operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i}),}$

и

${\displaystyle [X_{i}]=\operatorname {Trans} _{X_{i}}(r_{i,i+1})\operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1}).}$

В этой нотации каждое звено описывается преобразованием из сопутствующей системы координат в предыдущую:

${\displaystyle {}^{n-1}T_{n}=[Z_{n-1}]\cdot [X_{n}]}$

Здесь произведение описывает два винтовых преобразования. Соответствующие матрицы:

${\displaystyle \operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&d_{n}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}$

${\displaystyle \operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}&0&0\\\sin \theta _{n}&\cos \theta _{n}&0&0\\0&0&1&0\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}$

${\displaystyle \operatorname {Trans} _{x_{n}}(r_{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&r_{n}\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}$

${\displaystyle \operatorname {Rot} _{x_{n}}(\alpha _{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&0\\0&\cos \alpha _{n}&-\sin \alpha _{n}&0\\0&\sin \alpha _{n}&\cos \alpha _{n}&0\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}$

В результате:

${\displaystyle \operatorname {} ^{n-1}T_{n}=\left[{\begin{array}{ccc|c}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}\cos \alpha _{n}&\sin \theta _{n}\sin \alpha _{n}&r_{n}\cos \theta _{n}\\\sin \theta _{n}&\cos \theta _{n}\cos \alpha _{n}&-\cos \theta _{n}\sin \alpha _{n}&r_{n}\sin \theta _{n}\\0&\sin \alpha _{n}&\cos \alpha _{n}&d_{n}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}$

Здесь R — подматрица 3×3 вращения, T — подматрица 3×1 трансляции.

В ряде изданий порядок операций преобразования для пары вращения и сдвига (например, ${\displaystyle d_{n}}$ и ${\displaystyle \theta _{n}}$) противоположен, что допустимо (матрицы вращения и сдвига для одних и тех же осей коммутируют). Соответствующие формы: ${\displaystyle {}^{n-1}T_{n}=\operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})\cdot \operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} _{x_{n}}(r_{n})\cdot \operatorname {Rot} _{x_{n}}(\alpha _{n})}$ или ${\displaystyle {}^{n-1}T_{n}=\operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})\cdot \operatorname {Trans} _{x_{n}}(r_{n})\cdot \operatorname {Rot} _{x_{n}}(\alpha _{n})}$

Обозначения Денавита — Хартенберга дают стандартную (дистальную) методику для записи кинематических уравнений манипулятора. Это особенно удобно для последовательных структур, где матрица описывает положение и ориентацию одного тела относительно другого.

Положение тела ${\displaystyle n}$ относительно ${\displaystyle n-1}$ задаётся матрицей ${\displaystyle T}$ или ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle \operatorname {} ^{n-1}T_{n}=M_{n-1,n}}$

Эта матрица также используется для преобразования координат точки из системы ${\displaystyle n}$ в ${\displaystyle n-1}$:

${\displaystyle M_{n-1,n}=\left[{\begin{array}{ccc|c}R_{xx}&R_{xy}&R_{xz}&T_{x}\\R_{yx}&R_{yy}&R_{yz}&T_{y}\\R_{zx}&R_{zy}&R_{zz}&T_{z}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}$

Где левый верхний блок 3×3 задаёт относительное вращение, а правый верхний столбец 3×1 — относительное положение (координаты тела n в системе n-1).

Положение тела ${\displaystyle k}$ относительно ${\displaystyle i}$ вычисляется произведением матриц:

${\displaystyle M_{i,k}=M_{i,j}M_{j,k}}$

Важным свойством DH-матрицы является её обратимость:

${\displaystyle M^{-1}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&&&\\&R^{T}&&-R^{T}T\\&&&\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}$

где ${\displaystyle R^{T}}$ — транспонированная и одновременно обратная (ортогональная) матрица вращения ${\displaystyle R}$, то есть ${\displaystyle R_{ij}^{-1}=R_{ij}^{T}=R_{ji}}$.

Для представления скоростей и ускорений тел вводятся дополнительные матрицы^[9][10]. Скорость тела ${\displaystyle i}$ относительно ${\displaystyle j}$ в системе ${\displaystyle k}$ задаётся матрицей

${\displaystyle W_{i,j(k)}=\left[{\begin{array}{ccc|c}0&-\omega _{z}&\omega _{y}&v_{x}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}&v_{y}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0&v_{z}\\\hline 0&0&0&0\end{array}}\right]}$

где ${\displaystyle \omega }$ — угловая скорость тела ${\displaystyle j}$ относительно ${\displaystyle i}$ (вектор в системе ${\displaystyle k}$), ${\displaystyle v}$ — скорость некоторой точки тела ${\displaystyle j}$ относительно ${\displaystyle i}$ (полюс) — точки, проходящей через начало системы ${\displaystyle i}$.

Матрица ускорения определяется как сумма производной по времени от скорости и квадрата матрицы скорости:

${\displaystyle H_{i,j(k)}={\dot {W}}_{i,j(k)}+W_{i,j(k)}^{2}}$

Скорость и ускорение точки тела ${\displaystyle j}$ в системе ${\displaystyle i}$:

${\displaystyle {\dot {P}}=W_{i,j}P}$

${\displaystyle {\ddot {P}}=H_{i,j}P}$

Также выполняются равенства:

${\displaystyle {\dot {M}}_{i,j}=W_{i,j(i)}M_{i,j}}$

${\displaystyle {\ddot {M}}_{i,j}=H_{i,j(i)}M_{i,j}}$

Сложение матриц скорости и ускорения:

${\displaystyle W_{i,k}=W_{i,j}+W_{j,k}}$

${\displaystyle H_{i,k}=H_{i,j}+H_{j,k}+2W_{i,j}W_{j,k}}$

Иначе говоря, абсолютная скорость равна сумме скоростей «родителя» и относительной; для ускорения добавляется член Кориолиса.

Компоненты этих матриц в разных системах координат связаны преобразованием:

${\displaystyle W_{(h)}=M_{h,k}W_{(k)}M_{k,h}}$

${\displaystyle H_{(h)}=M_{h,k}H_{(k)}M_{k,h}}$

Для описания динамики используются три дополнительные матрицы: инерции ${\displaystyle J}$, количества движения ${\displaystyle \Gamma }$ и сил/моментов ${\displaystyle \Phi }$.

Матрица инерции ${\displaystyle J}$:

${\displaystyle J=\left[{\begin{array}{ccc|c}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}&x_{g}m\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}&y_{g}m\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}&z_{g}m\\\hline x_{g}m&y_{g}m&z_{g}m&m\end{array}}\right]}$

где ${\displaystyle m}$ — масса, ${\displaystyle x_{g},\,y_{g},\,z_{g}}$ — координаты центра масс, ${\displaystyle I_{xx},\,I_{xy},\ldots }$ — моменты инерции:

${\displaystyle I_{xx}=\iint x^{2}\,dm}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}&=\iint xy\,dm\\I_{xz}&=\cdots \\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}}$

Матрица инерции (также масса-матрица) является центральным элементом в уравнениях динамики робота^[11]. Она представляет собой симметричную положительно-определённую матрицу, которая зависит от текущей конфигурации робота и используется как в формулировках Лагранжа, так и Ньютона-Эйлера^[12]. В современных системах управления матрица инерции применяется для компенсации инерционных связей между звеньями, а её точное определение является важной задачей для реалистичного моделирования и идентификации параметров робота^[13][14].

Матрица действия ${\displaystyle \Phi }$ (силы ${\displaystyle f}$ и моменты ${\displaystyle t}$):

${\displaystyle \Phi =\left[{\begin{array}{ccc|c}0&-t_{z}&t_{y}&f_{x}\\t_{z}&0&-t_{x}&f_{y}\\-t_{y}&t_{x}&0&f_{z}\\\hline -f_{x}&-f_{y}&-f_{z}&0\end{array}}\right]}$

Следует отметить, что термин «матрица действия» не является общепринятым в современной литературе по динамике роботов. Он используется в рамках некоторых специфических формализмов, расширяющих кинематику DH, для представления внешних сил и моментов^[15]. Большинство современных подходов оперируют вектором обобщённых сил, а не данной матричной формой^[13].

Матрица импульса ${\displaystyle \Gamma }$ (линейный ${\displaystyle \rho }$ и угловой ${\displaystyle \gamma }$ импульсы):

${\displaystyle \Gamma =\left[{\begin{array}{ccc|c}0&-\gamma _{z}&\gamma _{y}&\rho _{x}\\\gamma _{z}&0&-\gamma _{x}&\rho _{y}\\-\gamma _{y}&\gamma _{x}&0&\rho _{z}\\\hline -\rho _{x}&-\rho _{y}&-\rho _{z}&0\end{array}}\right]}$

Понятие импульса, выраженное в матричной форме, сохраняет высокую актуальность, особенно в контексте управления сложными системами, такими как гуманоидные роботы. В современной робототехнике используется концепция центроидальной матрицы импульса (англ. Centroidal Momentum Matrix), которая связывает скорости в суставах с полным линейным и угловым импульсом всей системы. Управление на основе импульса является одним из ключевых подходов для поддержания равновесия и генерации движений у таких роботов^[16].

Все эти матрицы выражаются относительно выбранной системы координат ${\displaystyle k}$. При преобразовании компонентов из системы ${\displaystyle k}$ в систему ${\displaystyle h}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{(h)}&=M_{h,k}J_{(k)}M_{h,k}^{T}\\\Gamma _{(h)}&=M_{h,k}\Gamma _{(k)}M_{h,k}^{T}\\\Phi _{(h)}&=M_{h,k}\Phi _{(k)}M_{h,k}^{T}\end{aligned}}}$

Эти матрицы позволяют записать уравнения динамики компактно.

Закон Ньютона:

${\displaystyle \Phi =HJ-JH^{t}\,}$

Импульс:

${\displaystyle \Gamma =WJ-JW^{t}\,}$

Первое из уравнений соответствует формулировке Ньютона (сила равна массе на ускорение) плюс член для углового ускорения ({{{1}}}); второе позволяет находить линейный и угловой импульсы по известным скорости и инерции.

Существуют модифицированные (или проксимальные) DH-параметры, разработанные для преодоления ограничений классической конвенции. В частности, они позволяют избежать сингулярностей и численной неустойчивости при работе с параллельными или почти параллельными осями сочленений. В одной из наиболее распространённых модификаций, описанной Дж. Крейгом в Introduction to Robotics: Mechanics and Control (3rd Edition)^[17], главное отличие заключается в точках привязки координатных систем и последовательности преобразований.

Модифицированные DH-параметры

В модифицированной конвенции система координат ${\displaystyle O_{i-1}}$ располагается на оси i − 1, а ${\displaystyle O_{i}}$ — на оси i (в классической — на i и i+1 соответственно).

Преобразование задаётся последовательностью:

${\displaystyle {}^{n-1}T_{n}=\operatorname {Rot} _{x_{n-1}}(\alpha _{n-1})\cdot \operatorname {Trans} _{x_{n-1}}(a_{n-1})\cdot \operatorname {Rot} _{z_{n}}(\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} _{z_{n}}(d_{n})}$

Матрица модифицированных DH-параметров тогда имеет вид:

${\displaystyle \operatorname {} ^{n-1}T_{n}=\left[{\begin{array}{ccc|c}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}&0&a_{n-1}\\\sin \theta _{n}\cos \alpha _{n-1}&\cos \theta _{n}\cos \alpha _{n-1}&-\sin \alpha _{n-1}&-d_{n}\sin \alpha _{n-1}\\\sin \theta _{n}\sin \alpha _{n-1}&\cos \theta _{n}\sin \alpha _{n-1}&\cos \alpha _{n-1}&d_{n}\cos \alpha _{n-1}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}$

Следует отметить: некоторые источники^[18] обозначают a_n и α_n как длину и скручивание звена n-1 (а не n). Таким образом, {}^{n - 1}T_n формируется исключительно параметрами с одинаковым индексом.