Условия излучения Зоммерфельда

Уравнение Гельмгольца^[1]:

${\displaystyle \Delta U+k^{2}U=f}$

— имеет не единственное решение в классе (обобщённых) функций. Чтобы выделить класс функций (с учётом физических свойств), в котором решение будет единственным, необходимо потребовать выполнение дополнительных ограничений на решение на бесконечности. Этими ограничениями являются условия излучения Зоммерфельда:

${\displaystyle u(x)=O\left({\frac {1}{|x|}}\right),\quad {\frac {\partial u(x)}{\partial |x|}}-iku(x)=o\left({\frac {1}{|x|}}\right),\quad |x|\to \infty \qquad \left(1\right)}$

или

${\displaystyle u(x)=O\left({\frac {1}{|x|}}\right),\quad {\frac {\partial u(x)}{\partial |x|}}+iku(x)=o\left({\frac {1}{|x|}}\right),\quad |x|\to \infty \qquad \left({\overline {1}}\right)}$.

Условия излучения ${\displaystyle \left(1\right)}$ отвечают уходящим на бесконечность волнам, а условия ${\displaystyle \left({\overline {1}}\right)}$ волнам приходящим из бесконечности. Для гармонических функций ${\displaystyle \left(k=0\right)}$ условия излучения вытекают из единственного требования: ${\displaystyle u\left(\infty \right)=0}$. Также можно показать, что при ${\displaystyle k>0}$ всякое решение однородного уравнения Гельмгольца, удовлетворяющее второму из условий ${\displaystyle \left(1\right)}$ или ${\displaystyle \left({\overline {1}}\right)}$, удовлетворяет и первому условию: ${\displaystyle u(x)=O\left({\frac {1}{|x|}}\right)}$.