Уравнения Петерсона — Майнарди — Кодацци

Уравнения Петерсона — Майнарди — Кодацци имеют вид:

${\displaystyle {\frac {\partial b_{i1}}{\partial u^{2}}}+\Gamma _{i1}^{1}b_{12}+\Gamma _{i1}^{2}b_{22}={\frac {\partial b_{i2}}{\partial u^{1}}}+\Gamma _{i2}^{1}b_{11}+\Gamma _{i2}^{2}b_{21}}$,

где ${\displaystyle b_{ij}}$ — коэффициенты второй квадратичной формы, ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$ — символы Кристоффеля.

• Теорема Бонне. Если ${\displaystyle g=g_{ij}}$ и ${\displaystyle b=b_{ij}}$, ${\displaystyle i,j\in \{1,2\}}$ — две гладкие квадратичные формы в области ${\displaystyle U}$, удовлетворяющие уравнениям Петерсона — Кодацци, тогда существует и притом единственная (с точностью до движений) поверхность в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, для которой эти формы являются первой и второй квадратичными формами.
  • Эту теорему также доказал Петерсон в своей диссертации.

Уравнения впервые найдены К. М. Петерсоном^[1] в 1853, переоткрыты Г. Майнарди^[2] и Д. Кодацци(1867)^[3].