Уравнения Баргмана — Вигнера

Поль Дирак впервые опубликовал уравнение Дирака в 1928 году и позже (1936) обобщил его на частицы с любым полуцелым спином, прежде чем Фирц и Паули впоследствии нашли те же уравнения в 1939 году и примерно за десять лет до Баргмана и Вигнера.^[2] Юджин Вигнер написал статью в 1937 году об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца или группы Пуанкаре.^[3] Вигнер отмечает, что Этторе Майорана^[4] и Дирак использовали инфинитезимальные операторы и классифицирует представления как неприводимые, факториальные и унитарные.

В 1948 году Валентин Баргман и Вигнер опубликовали уравнения, которые теперь названы в их честь, в статье о теоретико-групповом обсуждении релятивистских волновых уравнений.^[5]

Для свободной электрически нейтральной массивной частицы со спином ${\displaystyle j}$ уравнения БВ представляют собой систему ${\displaystyle 2j}$ линейных дифференциальных уравнений в частных производных, каждое из которых имеет математическую форму, аналогичную уравнению Дирака. Система уравнений имеет вид^{[2][6][7] [8][9]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{1}\alpha _{1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\qquad \vdots \\&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{2j}\alpha '_{2j}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha '_{2j}}=0\\\end{aligned}}}$

и следует общему правилу;

${\displaystyle \left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{r}\alpha '_{r}}\psi _{\alpha _{1}\cdots \alpha '_{r}\cdots \alpha _{2j}}=0}$

(1)

для ${\displaystyle r=1,2,...2j}$.

Волновая функция БВ ${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} ,t)}$ имеет компоненты

${\displaystyle \psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}(\mathbf {r} ,t)}$

и является 4-компонентным спинорным полем ранга 2j. Каждый индекс принимает значения 1, 2, 3 или 4, тo есть существует ${\displaystyle 4^{2j}}$ компонент всего спинорного поля ${\displaystyle \psi }$, хотя полностью симметричная волновая функция уменьшает количество независимых компонент до ${\displaystyle 2(2j+1)}$. Далее, ${\displaystyle \gamma ^{\mu }=(\gamma ^{0},\mathbf {\gamma } )}$ являются матрицами Дирака, и

${\displaystyle {\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \partial _{\mu }}$

является четырёхмерным оператором импульса.

Оператор, составляющий каждое уравнение ${\displaystyle (-\gamma ^{\mu }P_{\mu }+mc)=(-i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)}$, является матрицей размерности ${\displaystyle 4\times 4}$, потому что ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ матрицы, и ${\displaystyle mc''}$ скалярно умножаются на единичную матрицу размерностью ${\displaystyle 4\times 4}$ (обычно не пишется для простоты). Явно, в представлении Дирака матриц Дирака:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc&=-\gamma ^{0}{\frac {\hat {E}}{c}}-{\boldsymbol {\gamma }}\cdot (-{\hat {\mathbf {p} }})+mc\\[6pt]&=-{\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\\\end{pmatrix}}{\frac {\hat {E}}{c}}+{\begin{pmatrix}0&{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\\-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}&0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&I_{2}\\\end{pmatrix}}mc\\[8pt]&={\begin{pmatrix}-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0&{\hat {p}}_{z}&{\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y}\\0&-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&{\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y}&-{\hat {p}}_{z}\\-{\hat {p}}_{z}&-({\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y})&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0\\-({\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y})&{\hat {p}}_{z}&0&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc\\\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \mathbf {\sigma } =(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$ является вектором, каждая компонента которого является матрицей Паули, ${\displaystyle E}$ является оператором энергии, ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3})=(p_{x},p_{y},p_{z})}$ является оператором трёхмерного импульса, ${\displaystyle I_{2}}$ обозначает единичную матрицу размерностью ${\displaystyle 2\times 2}$, нули (во второй строке) обозначают блочную матрицу размерностью ${\displaystyle 2\times 2}$ составленную из нулевых матриц.

Уравнения БВ обладают некоторыми свойствами уравнения Дирака:

• уравнения БВ являются Лоренц-ковариантными,
• все компоненты решений уравнений БВ удовлетворяют уравнению Клейна–Гордона и, следовательно, удовлетворяют релятивистскому соотношению энергии и импульса,

${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}}$,

• уравнения БВ допускают вторичное квантование .

В отличие от уравнения Дирака, которое может учитывать действие электромагнитного поля посредством включения слагаемого, описывающего минимальное электромагнитное взаимодействие, формализм БВ при попытке учёта электромагнитного взаимодействия содержит внутренние противоречия и трудности. Другими словами, в уравнения БВ невозможно внести изменение ${\displaystyle P_{\mu }\rightarrow P_{\mu }-eA_{\mu }}$, где ${\displaystyle e}$ - электрический заряд частицы и ${\displaystyle A_{\mu }=(A_{0},\mathbf {A} )}$ - это электромагнитный потенциал.^[10][11] Для исследования электромагнитных взаимодействий в этом случае применяются электромагнитные 4-токи и мультиполи частицы.^[12][13]

Представление группы Лоренца для уравнений БВ:^[10]

${\displaystyle D^{\mathrm {BW} }=\bigotimes _{r=1}^{2j}\left[D_{r}^{(1/2,0)}\oplus D_{r}^{(0,1/2)}\right]\,.}$

где ${\displaystyle D_{r}}$ обозначает неприводимое представление.

Релятивистские волновые уравнения:

• Dirac matrices in higher dimensions, Wolfram Demonstrations Project
• Learning about spin-1 fields, P. Cahill, K. Cahill, University of New Mexico (недоступная ссылка)
• Field equations for massless bosons from a Dirac–Weinberg formalism, R.W. Davies, K.T.R. Davies, P. Zory, D.S. Nydick, American Journal of Physics
• Quantum field theory I, Martin Mojzis
• The Bargmann–Wigner Equation: Field equation for arbitrary spin, FarzadQassemi, IPM School and Workshop on Cosmology, IPM, Tehran, Iran

Группы Лоренца в релятивистской квантовой физике:

• Representations of Lorentz Group, indiana.edu
• Appendix C: Lorentz group and the Dirac algebra, mcgill.ca (недоступная ссылка)
• The Lorentz Group, Relativistic Particles, and Quantum Mechanics, D. E. Soper, University of Oregon, 2011
• Representations of Lorentz and Poincare groups, J. Maciejko, Stanford University
• Representations of the Symmetry Group of Spacetime, K. Drake, M. Feinberg, D. Guild, E. Turetsky, 2009